4.4.2 计算函数零点的二分法-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，湘教版）

4.4.2　计算函数零点的二分法 核心知识目标 核心素养目标 1.根据具体函数图象,能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解. 2.了解二分法的含义及近似思想、逼近思想及应用. 通过对用二分法求方程的近似解的学习,使学生体会“逐步逼进”的方法,提升学生数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养. 1.二分法 对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 2.二分法求函数零点近似值的步骤 设函数y=f(x)定义在区间D上,其图象是一条连续曲线.求它在D上的一个零点x0的近似值x,使它与零点的误差不超过给定的正数ε,即使得 |x-x0|≤ε. (1)在D内取一个闭区间[a,b]⊆D,使f(a)与 f(b) 异号,即f(a)·f(b)<0; (2)取区间[a,b]的中点m=(a+b); (3)如果|m-a|<ε,则取m为f(x)的零点近似值,计算终止; (4)计算f(m),如果f(m)=0,则m就是f(x)的零点,计算终止; (5)f(m)与f(a)同号则令a=m,否则令b=m,再执行(2). 3.二分法求函数零点近似值的程序框图 1.用“二分法”求y=x2-6的零点时,初始区间可取(　C　) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 解析:f(0)=02-6=-6,f(1)=12-6=-5, f(2)=22-6=-2,f(3)=32-6=3, f(4)=42-6=10,所以f(2)·f(3)<0,故零点在区间(2,3)内.故选C. 2.用二分法求方程x3=2x在区间[1,2]内的实根,取区间中点为x0=1.5,那么下一个有根的区间是　　　　.  解析:令f(x)=x3-2x,因为f(1.5)=0.375>0,f(1)=-1<0,f(2)=4>0,所以取区间(1,1.5). 答案:(1,1.5) 3.用二分法研究函数f(x)=x5+8x3-1的零点时,第一次经过计算f(0)<0,f(0.5)>0,则第一个零点所在的区间是　　　　.第二次应计算的函数值是　　　　　(用f(x0)表示).  解析:令f(x)=x5+8x3-1, 则f(0)<0,f(0.5)>0, 所以f(0)·f(0.5)<0,所以第一个零点所在的区间为(0,0.5),第二次应计算的函数值应该为f(0.25). 答案:(0,0.5)　f(0.25) 　二分法概念 [例1] 下列函数中不能用二分法求零点的是(　　) 解析:观察图象与x轴的交点,若交点附近的函数图象连续,且在交点两侧的函数值符号相异,则可用二分法求零点,而B不能用二分法求零点.故选B. [即时训练1-1] 下列函数中,能用二分法求零点的是(　　) 解析:由题意以及函数零点存在定理可知,只有选项D能够应用二分法求解函数的零点.故选D. 判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是其图象在零点附近是连续不断的,且该零点为变号零点.因此,用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用,对函数的不变号零点不适用. 　用二分法求函数的零点近似值 [例2] 求函数f(x)=x2-5的负零点(精确度0.1). 解:由于f(-2)=-1<0,f(-3)=4>0, 故取区间(-3,-2)作为计算的初始区间, 用二分法逐次计算,列表如下: 次数 a,+ b,- m= f(m)的 近似值 区间长 b-a 1 -3 -2 -2.5 1.25 1 2 -2.5 -2 -2.25 0.062 5 0.5 3 -2.25 -2 -2.125 -0.484 4 0.25 4 -2.25 -2.125 -2.187 5 -0.214 8 0.125 由于=0.062 5<0.1, 所以函数的一个近似负零点可取-2.25. [即时训练2-1] 求函数f(x)=x3+2x2-3x-6的一个正数零点(精确度为0.1). 解:由于f(1)=-6<0,f(2)=4>0,可取区间(1,2)作为计算的初始区间,用二分法逐次计算,列表如下: 次数 a,- b,+ m= f(m)的 近似值 区间长 b-a 1 1 2 1.5 -2.625 1 2 1.5 2 1.75 0.234 4 0.5 3 1.5 1.75 1.625 -1.302 7 0.25 4 1.625 1.75 1.687 5 -0.561 8 0.125 由于=0.062 5<0.1, 所以[1.625,1.75]内的任何一个值都可作为函数零点的近似值. (1)用二分法求函数的近似零点,合理确定初始区