3.1.2 表示函数的方法-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，湘教版）

3.1.2　表示函数的方法 核心知识目标 核心素养目标 1.掌握函数的三种表示法:解析法、列表法、图象法以及各自的优缺点. 2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数. 3.会求函数的解析式. 结合实例,经历函数三种表示法的抽象过程,体会三种表示法的作用,发展学生的数学抽象的核心素养. 函数的表示法 函数的三种表示法:解析法、列表法和图象法. 解析法就是用解析式来表示函数的方法. 列表法,就是列出表格来表示函数的方法. 图象法,就是用图象表示函数的方法. 1.下列图象中,表示函数关系y=f(x)的是(　D　) 解析:根据函数的定义,只有选项D的图象满足一个x有唯一的y对应.故选D. 2.y与x成反比,且当x=2时,y=1,则y关于x的函数关系式为(　C　) A.y= B.y=- C.y= D.y=- 解析:由题意设y=(k≠0), 由题意知1=, 所以k=2, 所以y=.故选C. 3.已知函数f(x)由下表给出: x -1 0 1 2 f(x) 4 2 0 1 则f(f(1))=　　　　.  解析:因为f(1)=0,所以f(f(1))=f(0)=2. 答案:2 4.已知函数f(x)的图象如图所示,则此函数的定义域是　　　　　,值域是　　　　　.  答案:[-3,3)　[-2,2] 　列表法表示函数 [例1] 已知函数f(x)由下表给出,f(10f())的值为(　　) x x≤1 1<x<2 x≥2 y 1 2 3 A.0 B.1 C.2 D.3 解析:因为∈(-∞,1], 所以f()=1,10f()=10, 所以f(10f())=f(10). 又因为10∈[2,+∞), 所以f(10)=3, 即f(10f())=3. 故选D. [即时训练1-1] 已知函数f(x)与g(x)分别由表给出,则f(g(3))等于(　　) x 1 2 3 f(x) 4 3 9 x 2 3 4 g(x) 2 1 3 A.4 B.1 C.3 D.9 解析:由表格得g(3)=1,所以f(g(3))=f(1)=4.故选A. 求解用列表法表示的函数问题时,应根据表格中自变量对应的函数值求解. 　图象法表示函数 [例2] 下列选项中,不是函数的图象的是(　　) 解析:对于A选项,当-1<x<1时,一个x对应两个y,A选项表示的不是函数的图象;对于B选项,对于定义域中的每个x都有唯一的y与之对应,B选项表示的是函数的图象;对于C选项,对于定义域中的每个x都有唯一的y与之对应,C选项表示的是函数的图象;对于D选项,对于定义域中的每个x都有唯一的y与之对应,D选项满足函数的定义,表示的是函数的图象.故选A. [即时训练2-1] 下列各选项中,能表示函数y=f(x)的图象的是(　　) 解析:根据函数的定义,对于定义域内的任何一个变量,都有唯一的一个函数值与其对应,所给选项中,选项A,B,C中均为一个变量对应多个值的情况.故选D. 判断一个图形是否是函数图象的方法:作一条与y轴平行的直线x=l,判断直线x=l与图象是否最多只有一个交点.若直线x=l与图形最多只有一个交点,则是,否则不是. 　求函数解析式的方法 探究角度1　利用待定系数法求函数解析式 [例3] 若函数f(x)是二次函数,且满足2f(x+2)-f(x-1)=x2+11x+13.求函数f(x)的解析式. 解:设f(x)=ax2+bx+c(a≠0). 则f(x+2)=a(x+2)2+b(x+2)+c =ax2+(4a+b)x+4a+2b+c, f(x-1)=a(x-1)2+b(x-1)+c =ax2-(2a-b)x+a-b+c. 所以2f(x+2)-f(x-1)=ax2+(10a+b)x+7a+5b+c. 所以ax2+(10a+b)x+7a+5b+c=x2+11x+13. 所以 所以 所以f(x)=x2+x+1. [即时训练3-1] 已知f(x)是一次函数,且f(f(x))=16x-25,求函数f(x)的解析式. 解:设f(x)=kx+b(k≠0), 则f(f(x))=k(kx+b)+b=k2x+kb+b =16x-25, 所以 所以或 所以f(x)=4x-5或f(x)=-4x+. (1)使用待定系数法求函数解析式的原理是a1x2+b1x+c1=a2x2+b2x+c2对x∈R恒成立,则a1=a2,b1=b2,c1=c2. (2)当函数为二次函数时,应将函数设为f(x)=ax2+bx+c(a≠0);若函数为一次函数,则设为f(x)=kx+b(k≠0). 探究角度2　求复合函数解析式的方法 [例4] 已知f(+1)=+2,求函数f(x)的解析式. 解:法一　因为+2=+-+2 =(++1)-2(+1)+2+1 =(++