2.3.2 一元二次不等式的应用-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，湘教版）

2.3.2　一元二次不等式的应用 核心知识目标 核心素养目标 1.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型,并加以解决. 2.能够灵活运用三个“二次”之间的关系解决与一元二次不等式有关的恒成立问题. 1.从一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的相互联系,求解一元二次不等式及与一元二次不等式有关的恒成立问题,发展直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养. 2.通过运用一元二次不等式解决实际问题,提升数学建模、数学运算的核心素养. 1.一元二次不等式的解集是R或的含义 (1)一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集是R(或恒成立)的等价条件是; (2)不等式ax2+bx+c>0的解集是R(或恒成立)的等价条件是或; (3)一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集是R(或恒成立)的等价条件是; (4)一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集是的等价条件是; (5)一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集是的等价条件是. 2.用一元二次不等式解决实际问题的步骤 (1)理解题意,搞清量与量之间的关系. (2)建立相应的不等关系,把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题. (3)解决这个一元二次不等式,得到实际问题的解. 1.若x∈R时,x2-kx-k≥0恒成立,则k的取值范围是　　　　.  解析:由x∈R,x2-kx-k≥0恒成立知k2+4k≤0,解得-4≤k≤0. 答案:{k|-4≤k≤0} 2.已知关于x的不等式<1的解集为{x|x<1或x>3},则a的值是　　　　.  解析:由题意知a的值为. 答案: 3.若产品的总成本y(单位:万元)与产量x(单位:台)之间的函数关系式是y=3 000+20x-0.1x2(0<x<240),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是　　　　台.  解析:y-25x=-0.1x2-5x+3 000≤0, 即x2+50x-30 000≥0, 解得x≥150或x≤-200(舍去). 答案:150 　一元二次不等式在实际问题中的应用 [例1] 如图所示,将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要求B点在AM上,D点在AN上,且对角线MN过C点,已知AB=3米,AD=4米. 若矩形AMPN的面积大于50平方米,则DN的长x(单位:米)的取值范围是　.  解析:因为DN的长为x(x>0)米, 则AN=(x+4)米, 因为=, 所以AM=, 所以S矩形AMPN=AN·AM=. 由矩形AMPN的面积大于50得>50, 又x>0, 得3x2-26x+48>0, 解得0<x<或x>6. 答案:{x|0<x<或x>6} 应用一元二次不等式解决实际问题的一般步骤: (1)阅读理解,认真审题,分析题目中有哪些已知量和未知量,找准不等关系. (2)设出起关键作用的未知量,用不等式表示不等关系(或表示成函数关系). (3)解不等式(或求函数最值). (4)联系实际问题. 　一元二次不等式恒成立问题 [例2] (1)若关于x的不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0在R上恒成立(即解集为R),则实数a的取值范围是　　　　　　;  (2)命题“若关于x的不等式ax2-2ax-3>0的解集为空集”是真命题,则实数a的取值范围是　　　　　　;  (3)若存在实数x,使得不等式x2-ax+a<0成立,则实数a的取值范围为　　　　　　.  解析:(1)当a2-1=0,即a=±1时,若a=1,则原不等式为-1<0,恒成立;若a=-1,则原不等式为2x-1<0,即x<,不符合题目要求,舍去. 当a2-1≠0,即a≠±1时, 解得-<a<1. 综上所述,当-<a≤1时,原不等式在R上恒成立(即解集为R). (2)当a=0时,不等式为-3>0,解集为空集; 当a≠0时,应满足 即 解得-3≤a<0.综上可知,-3≤a≤0. (3)因为存在实数x,使得不等式x2-ax+a<0成立,所以Δ=(-a)2-4a>0, 解得a<0或a>4. 答案:(1)-<a≤1　(2)-3≤a≤0 (3)a<0或a>4 [即时训练2-1] (1)对于任意实数x,不等式ax2+2ax-(a+2)<0恒成立,则实数a的取值范围是(　　) A.{a|-1≤a≤0} B.{a|-1≤a<0} C.{a|-1<a≤0} D.{a|-1<a<0} (2)一元二次不等式kx2-2x+6k≥0的解集是空集,则实数k的取值范围是(　　) A.k<-或k> B.-<k< C.-≤k≤ D.k<- (3)若存在实数x,使得关于x的不等式ax2-4x+a-3<0成立,则a的取值范围是　　　　.  解析:(1)当a<0时,令Δ=4a2+4a(a+2)=8a2+8a<0,所以8a(a+1)<0,所以-1<a<0,