2.1.2 基本不等式-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，湘教版）

2.1.2　基本不等式 核心知识目标 核心素养目标 1.能描述并证明基本不等式,能对基本不等式进行几何解释. 2.能利用基本不等式的性质证明其他不等式. 3.能利用基本不等式求简单的最大值或最小值问题及条件最值问题. 1.通过基本不等式及几何解释的学习,达成数学抽象、逻辑推理及直观想象的核心素养. 2.通过利用基本不等式证明不等式,发展逻辑推理与数学运算的核心素养. 　基本不等式 (1)定理:对任意a,b∈R,必有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立. (2)推论:对任意a,b≥0,必有≥,当且仅当a=b时等号成立. 上述定理和推论中的不等式通常称为基本不等式. (3)一般地,对于正数a,b,称为a,b的算术平均数,称为a,b的几何平均数. 1.下列不等式正确的是(　C　) A.a+≥2 B.(-a)+(-)≤-2 C.a2+≥2 D.(-a)2+(-)2≤-2 解析:C中,由题意得a2>0,故a2+≥2成立.故选C. 2.下列等式中最小值为4的是(　C　) A.y=x+ B.y=2t+ C.y=4t+(t>0) D.y=t+ 解析:A中x=-1时,y=-5<4, B中t=-1时,y=-3<4, C中y=4t+≥2=4, 当且仅当t=时等号成立, D中t=-1时,y=-2<4.故选C. 3.下列不等式中,正确的是(　D　) A.a+≥4 B.a2+b2≥4ab C.≥ D.x2+≥2 解析:a<0,则a+≥4不成立,故A错; a=1,b=1,则a2+b2<4ab,故B错; a=4,b=16,则<,故C错; 由基本不等式可知D项正确.故选D. 4.已知x>-1,则的最小值为　　　　.  解析:= = =(x+1)++10, 因为x>-1, 所以x+1>0, 所以(x+1)++10≥2+10=16. 当且仅当x+1=, 即x=2时,等号成立. 答案:16 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 　利用基本不等式求最值 探究角度1　直接应用基本不等式求最值 [例1] (1)已知0<x<1,求y=x(1-x)的最大值; (2)求y=4x+(x>0)的最小值; (3)已知两个正数m,n,满足mn=3,求m+3n的最小值; (4)已知+=2(a>0,b>0),求ab的最小值. 解:(1)因为0<x<1,所以0<1-x<1, 所以y=x(1-x)≤()2=, 当且仅当x=1-x,即x=时,等号成立, 所以y的最大值为. (2)因为x>0, 所以y=4x+≥2=20, 当且仅当4x=,即x=时,等号成立. 所以y的最小值为20. (3)因为m>0,n>0,mn=3, m+3n≥2=2·=6, 当且仅当即m=3,n=1时,等号成立. 所以m+3n的最小值为6. (4)因为+=2(a>0,b>0), 所以2=+≥2,即ab≥6,当且仅当=,且+=2, 即a=3,b=2时,取等号. 所以ab的最小值是6. [即时训练11] 已知x>2,则y=+x-2的最小值为　　　　.  解析:因为x>2,所以x-2>0, 所以y=+x-2≥2=2, 当且仅当x-2=,即x=3时取等号. 答案:2 [即时训练12] 若x>0,y>0且xy=1,则x+4y的最小值是　　　　.  解析:因为x>0,y>0,且xy=1, 所以x+4y≥2=2=4, 当且仅当x=4y, 即x=2,y=时取等号. 答案:4 [即时训练13] 若a>0,x>0,且a为常数,则y=x+有最　　　　值,其值为　　　　.  解析:因为a>0,x>0, 所以x+≥2=,当且仅当x=, 即x=时取等号. 答案:小　 [即时训练14] 已知-1<x<3,则y=(1+x)(3-x)的最大值是　　　　.  解析:因为-1<x<3, 所以1+x>0,3-x>0, 所以≤=2. 所以(1+x)(3-x)≤4,当且仅当1+x=3-x,即x=1时取等号. 答案:4 利用基本不等式求最值,必须按照“一正,二定,三相等”的原则,即 (1)一正:符合基本不等式≥成立的前提条件,即a>0,b>0. (2)二定:化不等式的一边为定值. (3)三相等:必须存在“=”号的条件. 以上三点缺一不可. 探究角度2　变形后求最值 [例2] (1)已知x>3,求y=2x+的最小值; (2)若x>1,求y=的最小值. 解:(1)因为x>3,所以2x-6>0, 所以y=2x+=(2x-6)++6 ≥2+6=2×2+6=10, 当且仅当2x-6=,即x=4时取等号. 所以y=2x+的最小值是10. (2)法一　因为x2+1=(x-1)2+2(x-1)+2, 所以y===(x-1)++2, 又因为x>1,所以x-1>0, 所以y≥2+2=2+2, 当且仅当x-1=,即x=+1时取等号. 所以y=的最小值为2+2. 法二　令t