2.1.2基本不等式（2知识点+4题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（湘教版2019必修第一册）

2.1.2 基本不等式 课程标准 学习目标 （1）掌握基本不等式 。结合具体实例, 能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题。 （1）理解基本不等式的证明; （2） 掌握利用基本不等式求最值的常见方法. （难点) 知识点01 基本不等式 若，则 (当且仅当时，等号成立). ① 叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数. ② 基本不等式的几何证明 (当点重合，即时，取到等号) ③运用基本不等式求解最值时，牢记：一正，二定，三等. 一正指的是；二定指的是是个定值，三等指的是不等式中取到等号. 【即学即练1】 求函数的最值. 知识点02 基本不等式的变形 (调和均值几何均值算术均值平方均值) 以上不等式把常见的二元关系(倒数和，乘积，和，平方和)联系起来，我们要清楚它们在求最值中的作用. ① ，积定求和； ② ，和定求积： ③ (联系了与平方和) ④ (联系了与平方和) 【即学即练2】 若，，则（    ） A． B． C． D． 【题型一：基本不等式的内容及辨析】 例1．下列命题中正确的是（    ） A．当时，的最小值为2 B．当时， C．当时，的最小值为2 D．当时， 变式1-1．下列说法正确的是（    ） A．最小值为2 B．最大值为2 C．最小值为2 D．最大值为2 变式1-2．下列不等式中等号可以取到的是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 在利用基本不等式求最值时，要注意“一正二等三定”六字. 【题型二：基本不等式求和的最小值】 方法1 直接法 例2．若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式2-1．的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式2-2．下列命题中正确的是(　　) A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 方法2 凑项法 例3．已知，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．6 D．7 变式3-1．已知，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 变式3-2．已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 方法3 巧法 例4．已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 变式4-1．已知为正实数，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C．8 D．6 变式4-2．已知，且，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 方法4 换元法 例5．设，则 （    ） A． B． C． D． 变式5-1．函数 的最小值是（    ） A． B．3 C．6 D．12 变式5-2．已知，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1 利用基本不等式求最值的方法有很多，常见的是直接法、凑项法、巧1法、换元法、消元法等，要理解各种方法的“基本套路”和思考“什么情况下会想到这个方法”； 2 一般一道题目的方法可有很多种，解题时要多尝试多思考. 【题型三：条件等式求最值】 例6．已知，下列说法正确的是（    ） A．的最大值为8 B．的最小值为2 C．有最小值 D．有最大值4 变式6-1．已知，，且，则的最小值为（    ） A．9 B．10 C．12 D．13 变式6-2．（多选）已知正数满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为4 C．的最小值为9 D．的最小值为 变式6-3．已知正实数满足，则的最小值为（    ） A．20 B．40 C． D． 【方法技巧与总结】 理解基本不等式的各种变形，以及变形公式中把什么联系在一起了，多熟悉下！ (调和均值几何均值算术均值平方均值) 以上不等式把常见的二元关系(倒数和，乘积，和，平方和)联系起来，我们要清楚它们在求最值中的作用. ① ，积定求和； ② ，和定求积： ③ (联系了与平方和) ④ (联系了与平方和) 【题型四：基本不等式的恒成立问题】 例7．若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式7-1．当，且满足时，有恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式7-2．“”是“不等式 对于任意正实数x，y恒成立”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式7-3．若不等式对任意正数恒成立，则实数x的最大值为（    ） A． B．2 C． D．1 【方法技巧与总结】 恒成立问题，常见的分离参数法，把问题转化为某式子或函数的最值问题，若式子中含有两个变量常常会想到基本不等式求最值. 一、单选题 1．已知为实数，且，则下列命题错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2.下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时，的最小值是 C．当时， D．当时，的最小值为1 3.若，则函数的最小值为（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 4.下列命题中正确的是（    ） A．函数的最小值为2. B．函数的最小值为2. C．函数的最小值为 D．函数的最大值为 5. 若，则的最小值是（    ） A．1 B．4 C． D． 6.若正实数，满足，则下列说法错误的是（    ） A．有最大值 B．有最小值4 C．有最小值 D．有最大值 7.已知，，且，若不等式恒成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8.若对任意实数，，不等式恒成立，则实数a的最小值为（    ）． A． B． C． D． 二、多选题 9．设，，已知，，则下列说法正确的是（    ） A．有最小值 B．有最大值 C．有最大值为 D．有最小值为 10.若对于任意，恒成立，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 11.下列不等式正确的是（    ） A．已知为正实数，，则的最小值为 B．有最小值2 C．已知正数满足，则的最大值是1 D．若对任意恒成立，则实数的取值范围是 三、填空题 12．已知均为实数且，则的最小值为 . 13.已知，则的最小值是 ． 14.若正数，满足，则的最大值为 . 四、解答题 15．（1）若，且， 求：（i）的最小值； （ii）的最小值. （2）求的最小值. 16.某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为750的矩形花园.图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹､郁金香､月季（其中区域的形状､大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为. (1)用含有的代数式表示，并写出的取值范围； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？ 17.定义为个实数，，…，中的最小数，为个实数，，…，中的最大数． (1)设，都是正实数，且，求； (2)解不等式：； (3)设，都是正实数，求的最小值． 18.若方程有两个不相等的实数根，且． (1)求证：； (2)若，求的最小值． 19．柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，柯西不等式就是其中之一，它在数学的众多分支中有精彩应用，柯西不等式的一般形式为：设，则当且仅当或存在一个数，使得时，等号成立. (1)请你写出柯西不等式的二元形式； (2)设P是棱长为的正四面体内的任意一点，点到四个面的距离分别为、、、，求的最小值； (3)已知无穷正数数列满足：①存在，使得；②对任意正整数，均有.求证：对任意，，恒有. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1.2 基本不等式 课程标准 学习目标 （1）掌握基本不等式 。结合具体实例, 能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题。 （1）理解基本不等式的证明; （2） 掌握利用基本不等式求最值的常见方法. （难点) 知识点01 基本不等式 若，则 (当且仅当时，等号成立). ① 叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数. ② 基本不等式的几何证明 (当点重合，即时，取到等号) ③运用基本不等式求解最值时，牢记：一正，二定，三等. 一正指的是；二定指的是是个定值，三等指的是不等式中取到等号. 【即学即练1】 求函数的最值. 解 ，当是取到等号，故最小值是. 知识点02 基本不等式的变形 (调和均值几何均值算术均值平方均值) 以上不等式把常见的二元关系(倒数和，乘积，和，平方和)联系起来，我们要清楚它们在求最值中的作用. ① ，积定求和； ② ，和定求积： ③ (联系了与平方和) ④ (联系了与平方和) 【即学即练2】 若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合已知条件，利用基本不等式判断各选项中的结论是否成立. 【详解】若，， ，当且仅当等号成立，A选项错误； ，当且仅当等号成立，B选项正确； ，得，当且仅当等号成立，C选项错误； ，得，当且仅当等号成立，D选项错误. 故选：B 【题型一：基本不等式的内容及辨析】 例1．下列命题中正确的是（    ） A．当时，的最小值为2 B．当时， C．当时，的最小值为2 D．当时， 【答案】B 【分析】结合基本不等式“一正，二定，三相等”求解即可. 【详解】选项A，，，等号成立的条件是，等号取不到，所以，故A错误； 选项B，当时，，，当且仅当时等号成立，故B正确； 选项C，，，等号成立的条件是，等号取不到，即，故C错误； 选项D.当时，，等号成立的条件是，即时等号成立，故，故D错误. 故选：B 变式1-1．下列说法正确的是（    ） A．最小值为2 B．最大值为2 C．最小值为2 D．最大值为2 【答案】C 【分析】利用基本不等式的概念及运算逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】当时，，当且仅当即时，等号成立； 当时，， 当且仅当即时，等号成立；故选项AB错误； 任意，，当且仅当时， 即也即时，等号成立，所以最小值为2，故选项C正确； 当趋向于无穷大时，也趋向于无穷大，所以无最大值， 故D错误. 故选：C. 变式1-2．下列不等式中等号可以取到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基本不等式使用条件逐一检验取等条件即可得答案. 【详解】解：对于A，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故A不符合； 对于B，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故B不符合； 对于C，因为，所以，当且仅当，即时取等号，故C符合； 对于D，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故D不符合. 故选：C. 【方法技巧与总结】 在利用基本不等式求最值时，要注意“一正二等三定”六字. 【题型二：基本不等式求和的最小值】 方法1 直接法 例2．若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】， 当且仅当且，即时等号成立， 故选：B. 变式2-1．的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式即可得解. 【详解】由题意知，所以， 所以. 当且仅当，即时，等号成立. 故选：B. 变式2-2．下列命题中正确的是(　　) A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】选项必须保证，，同号．选项应取到等号，若，则， 选项应该为，故选：． 方法2 凑项法 例3．已知，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．6 D．7 【答案】C 【分析】利用基本不等式求解. 【详解】因为，所以， 所以, 当且仅当，即时，取得等号， 故选:C. 变式3-1．已知，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即取等号，故C正确. 故选：C. 变式3-2．已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据将转化为，利用基本不等式即可求解. 【详解】 ，当且仅当， 即，时取得等号． 故选：B． 方法3 巧法 例4．已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出. 【详解】由，得， 所以， 当且仅当即，时，等号成立， 所以的最小值为9， 故选：C． 变式4-1．已知为正实数，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C．8 D．6 【答案】C 【分析】利用“1”的代换法，利用基本不等式求得最小值． 【详解】根据题意， 当且仅当，即时，等号成立． 故选：C 变式4-2．已知，且，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】依题意可得，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为，且，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为． 故选：C． 方法4 换元法 例5．设，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对变形后，利用基本不等式求解. 【详解】令， ，则， ， 当且仅当1即时，等号成立，则. 故选：D. 变式5-1．函数 的最小值是（    ） A． B．3 C．6 D．12 【答案】A 【分析】由基本不等式求解， 【详解】令， ，则， 当且仅当 即 时，等号成立 故最小值为， 故选：A 变式5-2．已知，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意首先得，且，进一步通过换元法以及判别式法即可求解，注意验证取等条件. 【详解】因为，所以，所以，等号成立当且仅当， 从而， 令，设，显然， 则， 因为关于的一元二次方程有实数根，所以， 整理得，即， 解得，注意到，从而， 等号成立当且仅当，即， 所以经检验的最大值，即的最大值为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：关键是得，且，由此即可顺利得解. 【方法技巧与总结】 1 利用基本不等式求最值的方法有很多，常见的是直接法、凑项法、巧1法、换元法、消元法等，要理解各种方法的“基本套路”和思考“什么情况下会想到这个方法”； 2 一般一道题目的方法可有很多种，解题时要多尝试多思考. 【题型三：条件等式求最值】 例6．已知，下列说法正确的是（    ） A．的最大值为8 B．的最小值为2 C．有最小值 D．有最大值4 【答案】B 【分析】根据基本不等式运用的三个条件“一正､二定､三相等”，可知，所以A错误；将原式化成，即可得，即B正确；不等式变形可得，利用基本不等式中“1”的妙用可知，C错误；将式子配方可得，再利用基本不等式可得其有最小值，无最大值，D错误. 【详解】对于选项，，即，故， 当且仅当时等号成立，故的最小值为，A错误； 对于选项，原式化为，故；，故； 所以，当且仅当时等号成立，正确； 对于选项，原式化为，故， 当且仅当时等号成立，错误； 对于D选项，， 当且仅当时等号成立，故有最小值，D错误． 故选：B 变式6-1．已知，，且，则的最小值为（    ） A．9 B．10 C．12 D．13 【答案】D 【分析】借助基本不等式中“1”的妙用即可得. 【详解】 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D. 变式6-2．（多选）已知正数满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为4 C．的最小值为9 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据均值不等式分别建立不等式解不等式可判断AB，先变形为关于的二次函数求最值判断C，利用条件变形可得，转化为关于的式子由均值不等式判断D. 【详解】由正数满足，可得，解得，即， 当且仅当，即时等号成立，故A正确； 由正数满足，可得， 解得或（舍去），当且仅当，即时等号成立，故B正确； ，由A知， 由二次函数的单调性知，即时，的最小值为8，故C错误； 由可得，即，所以， 所以，当且仅当，即，时等号成立，故D正确. 故选：ABD 变式6-3．已知正实数满足，则的最小值为（    ） A．20 B．40 C． D． 【答案】C 【分析】由两次应用基本不等式即可求解. 【详解】， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 故选：C. 【方法技巧与总结】 理解基本不等式的各种变形，以及变形公式中把什么联系在一起了，多熟悉下！ (调和均值几何均值算术均值平方均值) 以上不等式把常见的二元关系(倒数和，乘积，和，平方和)联系起来，我们要清楚它们在求最值中的作用. ① ，积定求和； ② ，和定求积： ③ (联系了与平方和) ④ (联系了与平方和) 【题型四：基本不等式的恒成立问题】 例7．若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得，利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，解得即可. 【详解】因为正实数、满足， 即，所以， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 因为正实数、满足，且恒成立， 所以，解得，即实数的取值范围是. 故选：B． 变式7-1．当，且满足时，有恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把恒成立问题转化成求最值问题，利用基本不等式求出的最小值，然后解二次不等式即可. 【详解】因为即且， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 因为不等式恒成立，所以， 即，解得，故的取值范围为. 故选：A 变式7-2．“”是“不等式 对于任意正实数x，y恒成立”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】结合基本不等式判断“”和“不等式 对于任意正实数x，y恒成立”的逻辑推理关系，即得答案. 【详解】当时，对于任意正实数x，y， ，当且仅当时取等号， 即此时不等式 对于任意正实数x，y恒成立； 当不等式 对于任意正实数x，y恒成立时， ， 当且仅当时取等号， 此时需满足，解得，此时a不一定等于9， 故“”是“不等式 对于任意正实数x，y恒成立”的充分不必要条件， 故选：A 变式7-3．若不等式对任意正数恒成立，则实数x的最大值为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【分析】将不等式对任意正数恒成立，化为恒成立，利用基本不等式求得的最小值，即可求得答案. 【详解】由题意不等式对任意正数恒成立， 即恒成立， 又，当且仅当时，等号成立， 则， 当且仅当时，等号成立， 故，即实数x的最大值为， 故选：C 【方法技巧与总结】 恒成立问题，常见的分离参数法，把问题转化为某式子或函数的最值问题，若式子中含有两个变量常常会想到基本不等式求最值. 一、单选题 1．已知为实数，且，则下列命题错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】对于A，利用基本不等式判断，对于B，由已知结合完全平方式判断，对于C，举例判断，对于D，利用基本不等式判断 【详解】对于A，由基本不等式可知当时，，当且仅当时取等号，所以A正确， 对于B，因为，，所以，且，所以，当且仅当时取等号，所以B正确， 对于C，若，则，所以C错误， 对于D，因为，，所以，且，所以，，所以且，所以D 正确， 故选：C 2.下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时，的最小值是 C．当时， D．当时，的最小值为1 【答案】C 【分析】由基本不等式对选项逐一判断， 【详解】对于A，当时，，故A错误， 对于B，当时，，当且仅当时等号成立，故B错误， 对于C，当时，，当且仅当即时等号成立，故C正确， 对于D，当时，，当且仅当即时等号成立，故D错误， 故选：C 3.若，则函数的最小值为（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】D 【分析】利用基本不等式分析求解. 【详解】因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最小值为15. 故选：D. 4.下列命题中正确的是（    ） A．函数的最小值为2. B．函数的最小值为2. C．函数的最小值为 D．函数的最大值为 【答案】D 【分析】根据基本不等式知识对选项逐一判断 【详解】对于A，时为负值，故A错误 对于B，，而无解，无法取等，故B错误 对于 ，当且仅当即时等号成立， 故，D正确，C错误 故选：D 5. 若，则的最小值是（    ） A．1 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式及“1”的妙用计算即可． 【详解】因为，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立，取得最小值， 故选：D． 6.若正实数，满足，则下列说法错误的是（    ） A．有最大值 B．有最小值4 C．有最小值 D．有最大值 【答案】C 【分析】利用基本不等式一一判断求解即可. 【详解】因为正实数，满足，则有： 对A，因为，当且仅当时，等号成立，A正确； 对B，因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以有最小值4，B正确； 对C，因为，当且仅当时，等号成立，C错误； 对D，因为， 当且仅当时，等号成立，所以，D正确； 故选：C. 7.已知，，且，若不等式恒成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定，变换，展开利用均值不等式计算最值得到答案. 【详解】，故，， ，，故， 当且仅当，即时取等号，故， 最小值是16，由不等式恒成立可得. a的取值范围是， 故选：B. 8.若对任意实数，，不等式恒成立，则实数a的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分离变量将问题转化为对于任意实数，恒成立，进而求出的最大值，设及，然后通过基本不等式求得答案． 【详解】对任意实数，，不等式恒成立， 则对于任意实数，恒成立， 则只需求的最大值即可，， 设，则， 再设，则 ， 当且仅当，即时取得“＝”． 所以，即实数a的最小值为． 故选：D． 二、多选题 9．设，，已知，，则下列说法正确的是（    ） A．有最小值 B．有最大值 C．有最大值为 D．有最小值为 【答案】AD 【分析】利用基本不等式直接判断与的最值情况. 【详解】，，， 当且仅当即时，等号成立，A选项正确，B选项错误； 又，时，，即， 所以，当且仅当时，等号成立，C选项错误，D选项正确； 故选：AD. 10.若对于任意，恒成立，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式求出的最大值，结合选项可得 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 由任意，恒成立，  所以， 符合条件有，，，故A、C、D对； ，故B错； 故选：ACD 11.下列不等式正确的是（    ） A．已知为正实数，，则的最小值为 B．有最小值2 C．已知正数满足，则的最大值是1 D．若对任意恒成立，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式判断A，B，C；对于D，由题意可得恒成立，利用基本不等式求出的最小值即可判断. 【详解】解：对于A， 当且仅当时，等号成立，∴A正确； 对于B． 当且仅当，即时，不合题意，不能取等号，∴B错误； 对于C．，当且仅当时，等号成立，∴C正确； 对于D．恒成立，即恒成立， 又因为， 当且仅当，即时，等号成立，，D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．已知均为实数且，则的最小值为 . 【答案】1 【分析】利用基本不等式凑“一”法求解二元变量最值问题. 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即等号成立， 所以的最小值为1. 故答案为：1. 13.已知，则的最小值是 ． 【答案】2 【分析】变形式子，由均值等式求最值即可. 【详解】因为， 所以， 当且仅当．即时，等号成立． 故答案为：2 14.若正数，满足，则的最大值为 . 【答案】2 【分析】根据得出，得出，，根据的范围求出的范围即可. 【详解】，，，所以，即，， 根据二次函数的性质可知时，上式取得最大值2. 故答案为：2. 四、解答题 15．（1）若，且， 求：（i）的最小值； （ii）的最小值. （2）求的最小值. 【答案】（1）（i）（ii）；（2）32 【分析】根据基本不等式即可直接求解（i）（2），利用乘 “1”法即可求解（ii）， 【详解】（1）（i）由，及基本不等式，可得， 故，当且仅当，即时等号成立， 的最小值为64； （ii），，， ，当且仅当且， 即，时等号成立，即 取得最小值18； （2）由可得 当且仅当，即时等号成立 故的最小值为32. 16.某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为750的矩形花园.图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹､郁金香､月季（其中区域的形状､大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为. (1)用含有的代数式表示，并写出的取值范围； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？ 【答案】(1) (2)当时，才能使鲜花种植的总面积最大 【分析】（1）根据题意，设矩形花园的长为，由条件可得，即可得到结果； （2）由（1）中的结论可得鲜花种植的总面积为与矩形花园的一条边长的函数关系式，再由基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）设矩形花园的长为， 矩形花园的总面积为， ，可得， 又阴影部分是宽度为的小路， 可得，可得， 即关于的关系式为. （2）由（1）知，， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 17.定义为个实数，，…，中的最小数，为个实数，，…，中的最大数． (1)设，都是正实数，且，求； (2)解不等式：； (3)设，都是正实数，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由基本不等式即可求解； （2）分段讨论得出，然后解不等式即可； （3）设出后由基本不等式进行求解. 【详解】（1）由题意得，即，当且仅当时等号成立， 故； （2）令，得， 当时，当时， 而即恒成立， 故， 可化为或或， 解得，故原不等式的解集为； （3）设，由题意得， 则， 当且仅当即时等号同时成立， 故的最小值为． 18.若方程有两个不相等的实数根，且． (1)求证：； (2)若，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)8 【分析】（1）根据韦达定理，即可证明结论； （2）首先，将原式通分，变形，再将韦达定理代入；然后，利用（1）的结论消去，得到关于一个的式子；再对式子变形，利用基本不等式求出最小值. 【详解】（1）证明：根据韦达定理得，，， 所以， 所以. （2） ， 因为， 所以， 所以， 当且仅当即时，等号成立， 所以的最小值为8. 19．柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，柯西不等式就是其中之一，它在数学的众多分支中有精彩应用，柯西不等式的一般形式为：设，则当且仅当或存在一个数，使得时，等号成立. (1)请你写出柯西不等式的二元形式； (2)设P是棱长为的正四面体内的任意一点，点到四个面的距离分别为、、、，求的最小值； (3)已知无穷正数数列满足：①存在，使得；②对任意正整数，均有.求证：对任意，，恒有. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用柯西不等式的定义，写出时的形式； （2）由体积法求出，构造柯西不等式求的最小值； （3）时，由，有 由柯西不等式得，可得. 【详解】（1）柯西不等式的二元形式为： 设，则， 当且仅当时等号成立. （2）由正四面体的体积， 得，所以， 又由柯西不等式得， 所以， 当且仅当时等号成立. （3）对，记是的一个排列， 且满足. 由条件②得：. 于是，对任意的， 都有 由柯西不等式得 所以 从而，对任意的，都有， 故对任意，，恒有. 【点睛】方法点睛： 遇到新定义问题一定要准确理解题目的定义，按照新定义交代的性质或者运算规律来解题. 第一，准确转化.解决新信息问题，一定要理解题目定义的本质含义.紧扣题目所给的定义、运算法则对所求问题进行恰当的转化. 第二，方法的选取.对新信息题可以采取一般到特殊的特例法，从逻辑推理的.角度进行转化.理解题目定义的本质苹并进行推广、运算. 第三，应该仔细审读题目.严格按新信息的要求运用算.解答问题时要避免课本知识或者已有知识对新信息问题的干扰. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$