4.1.3 幂函数-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习课时作业word（新教材，湘教版）

4.1.3　幂函数 选题明细表 知识点、方法 题号 幂函数的概念、图象 1,2,4,7,8,12 幂函数的性质 3,4,5,6,10 幂函数综合应用 9,11,13,14 基础巩固 1.幂函数f(x)=(m2-2m+1)x2m-1在(0,+∞)上单调递增,则实数m的值为(　D　) A.0 B.1 C.1或2 D.2 解析:因为函数f(x)是幂函数, 所以m2-2m+1=1,解得m=0或m=2,因为函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以2m-1>0,即m>,故m=2.故选D. 2.函数y=-1的图象关于x轴对称的图象大致是(　B　) 解析:y=的图象位于第一象限,且为增函数,所以函数图象是上升的,函数y=-1的图象可看作由y=的图象向下平移一个单位长度得到的(如选项A中的图所示),将y=-1的图象关于x轴对称后即为选项B.故选B. 3.幂函数y=f(x)的图象经过点(3,),则f(x)(　D　) A.是偶函数,且在(0,+∞)上单调递增 B.是偶函数,且在(0,+∞)上单调递减 C.是奇函数,且在(0,+∞)上单调递减 D.既不是奇函数,也不是偶函数,在(0,+∞)上单调递增 解析:由题意设f(x)=xn,因为函数f(x)的图象经过点(3,),所以=3n,解得n=,即f(x)=,所以f(x)既不是奇函数,也不是偶函数,且在(0,+∞)上是增函数.故选D. 4.(多选题)下列命题中是真命题的有(　BD　) A.幂函数的图象都经过点(1,1)和(0,0) B.幂函数的图象不可能过第四象限 C.当n>0时,幂函数y=xn是增函数 D.当n<0时,幂函数y=xn在第一象限内函数值随x值的增大而减小 解析:由于幂函数f(x)=x-1的图象不经过点(0,0),所以A不正确;根据幂函数的定义,当x>0时,y不可能小于0,因此幂函数的图象不可能过第四象限;如幂函数f(x)=在其定义域上不是单调函数,所以C不正确;根据幂函数的图象与性质,可得当n<0时,幂函数y=xn在第一象限内单调递减,所以D是正确的.故选BD. 5.若幂函数f(x)=(m2-3m-3)xm在(0,+∞)上为增函数,则实数m= 　　　 　.  解析:因为f(x)=(m2-3m-3)xm为幂函数,且在(0,+∞)上为增函数, 所以故m=4. 答案:4 6.已知幂函数f(x)的图象经过点(4,2),则函数 f(x)=　　 　　,若f(2-a)>f(a-1),则实数a的取值范围是　　 　　.  解析:设幂函数f(x)=xα,由f(4)=4α=2,得到α=,于是f(x)==.若f(2-a)>f(a-1),则>,所以解得 1≤a<. 答案:　[1,) 能力提升 7.如图是幂函数y=xm与y=xn在第一象限内的图象,则(　B　) A.-1<n<0<m<1 B.n<-1,0<m<1 C.-1<n<0,m>1 D.n<-1,m>1 解析:由幂函数的图象特征可知n<-1,0<m<1.故选B. 8.幂函数y=(m∈Z)的图象如图所示,则m的值为(　C　) A.0 　　　　B.1 C.2 　　　　D.3 解析:由函数图象可知,幂函数为偶函数,且幂指数小于0,当m=0时, m2-4m=0,不合题意;当m=1时,m2-4m=-3,幂函数为奇函数,不合题意;当m=2时,m2-4m=-4,满足幂函数为偶函数,且幂指数小于0,符合题意;当m=3时,m2-4m=-3,幂函数为奇函数,不合题意.所以m的值为2. 故选C. 9.(多选题)已知幂函数f(x)的图象经过点(,),P(x1,y1),Q(x2,y2) (x1<x2)是函数图象上的任意不同两点,给出以下结论正确的是(　BC　) A.x1f(x1)>x2f(x2) B.x1f(x1)<x2f(x2) C.> D.< 解析:因为f(x)为幂函数,故可设f(x)=xα,又它的图象经过点(,),可由=()α得出α=,所以f(x)=.设g(x)=xf(x)=x=,它在[0,+∞)上为增函数,若0≤x1<x2,则有g(x1)<g(x2),故A,B中只能选择B.设h(x)===,它在(0,+∞)上为减函数,若0<x1<x2,则有h(x1)> h(x2),故C,D中只能选择C.故选BC. 10.若(m-1<(3-2m,则实数m的取值范围为(　C　) A.(-∞,) B.[1,] C.[1,) D.(,] 解析:幂函数f(x)=在定义域[0,+∞)上单调递增, 由(m-1<(3-2m, 得解不等式组可得则实数m的取值范围为[1,).故选C. 11.已知函数f(x)=,则f(3x-1)<f(1+x2)的解集是　　　　　　. 解析:由于函数f(x)=是定义在[0,