2.3.2 一元二次不等式的应用-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习课时作业word（新教材，湘教版）

2.3.2　一元二次不等式的应用 选题明细表 知识点、方法 题号 不等式恒成立问题 1,3,4,8,10,11 不等式实际应用 2,5,6,7,9,12 基础巩固 1.已知不等式-x2+4x≥a2-3a在R上有解,则实数a的取值范围为(　A　) A.{a|-1≤a≤4} B.{a|-1<a<4} C.{a|a≥4或a≤-1} D.{a|-4≤a≤1} 解析:由题意知,原不等式可化为-(x-2)2+4≥a2-3a在R上有解, 所以a2-3a≤4,即(a-4)(a+1)≤0, 所以-1≤a≤4.故选A. 2.某文具店购进一批新型台灯,若按每盏台灯15元的价格销售,每天能卖出30盏;若售价每提高 1元,日销售量将减少2盏,现决定提价销售,为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入,则这批台灯的销售单价x(单位:元)的取值范围是(　C　) A.{x|10≤x<16} B.{x|12≤x<18} C.{x|15<x<20} D.{x|10≤x<20} 解析:设这批台灯的销售单价为x元, 则[30-(x-15)×2]x>400, 即x2-30x+200<0, 所以10<x<20, 又因为x>15, 所以15<x<20.故选C. 3.(多选题)一元二次不等式x2-kx+1>0对一切实数x都成立,则整数k的值为(　BCD　) A.-2 B.0 C.-1 D.1 解析:因为x2-kx+1>0对一切实数x都成立, 所以Δ=k2-4<0,即-2<k<2, 故选项A错误,B,C,D正确.故选BCD. 4.(2022·山东聊城高二期中)已知命题p:存在x∈R,x2+ax+4a≤0.若命题p是假命题,则实数a的取值范围是(　D　) A.-16<a<0 B.-4<a<0 C.0<a<4 D.0<a<16 解析:依题意,x2+ax+4a>0在R上恒成立, 故Δ=a2-16a<0,则0<a<16.故选D. 5.为配制一种药液,进行了两次稀释,先在体积为V升的桶中盛满纯药液,第一次将桶中药液倒出10升后用水补满,搅拌均匀,第二次倒出8升,再用水补满后,若桶中药液含量不超过容积的60%,则V的取值范围是　 .  解析:第一次稀释后桶中药液为(V-10)升,第二次倒出后桶中剩余药液[(V-10)-×8]升,依题意 (V-10)-×8≤V×60%, 即V2-45V+200≤0, 解得5≤V≤40,又V≥10, 所以10≤V≤40. 答案:{V|10≤V≤40} 6.设函数y=mx2-mx-1. (1)若对于一切实数x,y<0恒成立,求m的取值范围; (2)对于x∈{x|1≤x≤3},y<-m+5恒成立,求m的取值范围. 解:(1)若m=0,显然-1<0恒成立; 若m≠0,则⇒-4<m<0, 即m的取值范围为{m|-4<m≤0}. (2)y<-m+5恒成立,即m(x2-x+1)-6<0恒成立. 因为x2-x+1=(x-)2+>0, 所以m<. 因为函数y==在1≤x≤3时的最小值为,所以只需m<即可. 所以m的取值范围为{m|m<}. 能力提升 7.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x(单位:m)的取值范围是(　C　) A.12≤x≤30 B.12≤x≤25 C.10≤x≤30 D.20≤x≤30 解析:设矩形的另一边长为y m,则由三角形相似知,=,所以y=40-x. 因为xy≥300,所以x(40-x)≥300, 所以x2-40x+300≤0, 所以10≤x≤30.故选C. 8.对任意实数x,不等式(a-3)x2-2(a-3)x-6<0恒成立,则实数a的取值范围是　 .  解析:①当a-3=0,即a=3时,不等式为-6<0,恒成立,则a=3满足题意. ②当a-3≠0,即a≠3时,不等式恒成立, 则需 解得-3<a<3,综上所述,-3<a≤3. 答案:{a|-3<a≤3} 9.某种汽车在水泥路面上的刹车距离(刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离)s m和汽车车速x km/h有如下关系:s=x+x2.在一次交通事故中,测得这种车的刹车距离不小于40 m,那么这辆汽车刹车前的车速不低于　　　　 km/h.  解析:根据题意,得x+x2≥40. 移项整理,得x2+10x-7 200≥0. 显然Δ>0,x2+10x-7 200=0有两个实数根, 即x1=80,x2=-90, 然后,根据二次函数y=x2+10x-7 200的图象(图略), 得不等式的解集为{x|x≤-90或x≥80}. 在这个实际问题中,x>0,所以这辆汽车刹车前的车速不低于80 km/h. 答案:80 10.(1)当1≤x≤2时,不等式x2+mx+4<0