第2章 2.3.2 一元二次不等式的应用（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

该高中数学课件聚焦一元二次不等式的应用及与基本不等式的综合应用，通过实际情景（如产品成本利润、工厂盈利等）抽象模型，衔接不等式解法，以“读、建、解、答”四步为学习支架，帮助学生构建实际问题与数学模型的联系。 其亮点是以多样实际案例（如绿化面积优化、员工调整利润）为载体，培养学生用数学眼光发现数量关系，通过规范解题步骤发展数学思维的逻辑性，用不等式模型表达问题提升数学语言能力。学生能提升建模与综合应用能力，教师可直接使用系统例题与练习提高教学效率。

2.3.2 一元二次不等式的应用 第2章　 §2.3　一元二次不等式 <<< 1 1.经历从实际情景中抽象出一元二次不等式模型的过程. 2.能将实际问题转化为数学问题,建立不等式模型求解实际问题. 学习目标 一、一元二次不等式的应用 二、一元二次不等式与基本不等式的综合应用 课时对点练 内容索引 一 一元二次不等式的应用 　(课本例7)某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间满足如下关系式： y＝3 000＋20x－0.1x2(x∈(0,240),x∈N＋). 若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量为多少？ 例 1 5 根据题意可得25x－(3 000＋20x－0.1x2)≥0, 整理得x2＋50x－30 000≥0. 方程x2＋50x－30 000＝0有两个不相等的实数根x1＝150,x2＝－200. 由图象得不等式x2＋50x－30 000≥0的解集为{x|x≤－200或x≥150}. 在这个实际问题中,x>0,所以x的最小值为150,即生产者不亏本时的最低产量为150台. 解 6 　某工厂的固定成本为3万元,该工厂每生产100台某产品的生产成本为1万元,设生产该产品x(百台),其总成本为p万元(总成本＝固定成本＋生产 成本),并且销售收入y满足y＝ 假定该产品产销平衡,根据上述统计规律求： (1)要使工厂有盈利,产品数量x应控制在什么范围？ 例 1 7 依题意得p＝x＋3,设利润为z, 则z＝y－p, 所以z＝ 要使工厂有盈利,则有z>0, 所以 解 8 或⇒ 或⇒或 则3<x≤7或7<x<10.5,即3<x<10.5, 所以要使工厂盈利,产品数量应控制在300台到1 050台的范围内. 解 9 (2)工厂生产多少台产品时盈利最多？ 当3<x≤7时,z＝－0.5(x－6)2＋4.5, 故当x＝6时,z有最大值4.5, 而当x>7时,z<10.5－7＝3.5, 所以当工厂生产600台产品时盈利最多. 解 10 解不等式应用题的步骤 反 思 感 悟 11 　　　　　　某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆,出厂价为12万元/辆,年销售量为10 000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品质量,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1),则出厂价相应地提高比例为0.75x,同时预计年销售量增加的比例为0.6x,已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量. (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； 跟踪训练 1 由题意得y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10 000×(1＋0.6x)(0<x<1), 整理得y＝－6 000x2＋2 000x＋20 000(0<x<1). 解 12 要保证本年度的年利润比上年度有所增加, 必须有 即解得0<x< 所以投入成本增加的比例x应在的范围内. 解 (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加,则投入成本增加的比例x应在什么范围内？ 13 二 一元二次不等式与基本不等式的综合应用 　　　某学校欲在广场旁的一块矩形空地上进行绿化.如图所示,两块完全相同的长方形种植绿草,草坪周围(斜线部分)设置宽度相同的花坛.已知两块绿草坪的面积均为200平方米. 例 2 (1)若矩形草坪的长比宽至少多10米,求草坪宽的最大值； 15 设草坪的宽为x米,长为y米,由面积均为200平方米,得y＝ 因为矩形草坪的长比宽至少多10米, 所以≥x＋10,又x>0, 所以x2＋10x－200≤0,解得0<x≤10, 所以宽的最大值为10米. 解 16 (2)若草坪四周及中间的宽度均为2米,求整个绿化面积的最小值. 记整个绿化面积为S平方米,由题意得, S＝(2x＋6)(y＋4)＝(2x＋6) ＝424＋8≥424＋80 当且仅当x＝5时,等号成立, 所以整个绿化面积的最小值为(424＋80)平方米. 解 17 解决这类问题的关键是耐心读题、仔细审题,只有吃透题意,才能将实际问题转化为数学模型进行解答. 反 思 感 悟 18 　　　　　　某单位有员工1 000名,平均每人每年创造利润10万元,为了增加企业竞争力,决定优化产业结构,调整出x(x∈N＋)名员工从事第三产业,调整出的员工平均每人每年创造利润为10(a－0.8x%)万元(a>0),剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.4x%. (1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1 000名员工创造的年总利润,则最多调整出多少名员工从事第三产业？ 跟踪训练 2 19 由题意,得10(1 000－x)≥10×1 000,即x2－750x≤0, 又x>0,所以0<x≤750. 即最多调整出750名员工从事第三产业. 解 20 (2)在保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1 000名员工创造的年总利润的条件下,若要求调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润,则a的取值范围是多少？ 21 从事第三产业的员工创造的年总利润为10x万元, 从事原来产业的员工的年总利润为 10(1 000－x)万元, 则10x≤10(1 000－x) 所以ax－≤1 000＋4x－x－x2, 所以ax≤＋1 000＋3x, 解 22 即a≤＋3在x∈(0,750]时恒成立, 因为≥2＝4, 当且仅当 即x＝500时等号成立,所以a≤7, 又a>0,所以0<a≤7, 所以a的取值范围为(0,7]. 解 23 1.知识清单： (1)一元二次不等式的应用. (2)一元二次不等式与基本不等式的综合应用. 2.方法归纳：数学建模. 3.常见误区：利用一元二次不等式解决实际问题时,应注意实际意义. 课堂小结 课时对点练 三 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C B C A C ABC {x|15<x<20} 题号 8 11 12 13 14 答案 乙车 A BC CD 3.75　2.5 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (1)当征收附加税率为t%时,每年的销售量为万件,每件产品征收的附加税金为(250×t%)元,设税金收入为y万元,则所求函数关系为y＝250×t%×＝100t－4t2. (2)由题意可知,y＝100t－4t2≥600, 即t2－25t＋150≤0,解得10≤t≤15, 即附加税率应控制在10%到15%之间. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (1)设利润为y,则y＝50x－(98＋2x2＋10x)＝－2x2＋40x－98(x∈N＋), 由－2x2＋40x－98>0整理得x2－20x＋49<0, 解得10－<x<10＋由于x∈N＋, 所以x∈{x∈N＋|3≤x≤17}, 所以第3年首次盈利. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)首先x∈ 由(1)得年平均利润为＝－2＋40≤－2×2＋40＝ 12(万元), 当且仅当x＝即x＝7万元时等号成立, 所以第7年年平均利润最大,最大为12万元. 基础巩固 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1.某村办服装厂生产某种风衣,月销售量x(件)与售价p(元/件)的关系为p＝300－2x；生产x件的成本r＝500＋30x(元),为使月获利不少于8 600元,则月产量x满足 A.55≤x≤60 B.60≤x≤65 C.65≤x≤70 D.70≤x≤75 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由题意可得 (300－2x)x－(500＋30x)≥8 600, 即x2－135x＋4 550≤0, 则(x－65)(x－70)≤0,故65≤x≤70. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x,其中x为销售量(单位：辆).若该公司在这两地共销售15辆车,则能获得的最大利润为 A.45.606万元 B.45.6万元 C.45.56万元 D.45.51万元 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 依题意可设甲地销售x辆, 则乙地销售(15－x)辆, ∴总利润S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x) ＝－0.15x2＋3.06x＋30(0≤x≤15,x∈N). ∴当x＝10时,Smax＝45.6(万元). 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分),则其边长 x(单位：m)的取值范围是 A.15≤x≤30 B.12≤x≤25 C.10≤x≤30 D.20≤x≤30 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 设矩形的另一边长为y m, 则由三角形相似知 所以y＝40－x, 因为xy≥300,所以x(40－x)≥300, 即x2－40x＋300≤0,解得10≤x≤30. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.若不计空气阻力,则以初速度v0竖直上抛的物体距离抛出点的高度y与时间t满足关系式y＝v0t－gt2,其中g取10 m/s2.现有一名同学以初速度12 m/s竖直向上抛一个排球,则该排球在距离抛出点不低于1 m的位置停留的时间约为 A.2.24 s B.1.12 s C.1 s D.0.5 s √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由条件可知,v0＝12 m/s,g＝10 m/s2, 则y＝12t－5t2≥1,即5t2－12t＋1≤0, 解得≤t≤ 即0.08≤t≤2.32,所以停留的时间约为2.32－0.08＝2.24(s). 解析 5.已知某连锁酒店共有500间客房,若每间客房每天的定价是200元,则均可被入住；若每间客房每天的定价在200元的基础上提高10x元(1≤x≤10, x∈Z),则被入住的客房会减少15x套.若要使该连锁酒店每天入住客房的收入超过106 600元,则该连锁酒店每间客房每天的定价应为 A.250元 B.260元 C.270元 D.280元 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 依题意,每天有(500－15x)间客房被入住,该连锁酒店每天入住客房的收入为(500－15x)(200＋10x)＝－150x2＋2 000x＋100 000. 因为要使该连锁酒店每天入住客房的收入超过106 600元, 所以－150x2＋2 000x＋100 000>106 600,即3x2－40x＋132<0,解得6<x<. 因为1≤x≤10且x∈Z,所以x＝7,即该连锁酒店每间客房每天的定价应为200＋10x＝270(元). 解析 6.(多选)某辆汽车以x km/h的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全,要求60≤x≤120 )时,每小时的油耗(所需要的汽油量)为 L,其中k为常数,若汽车以120 km/h的速度行驶时,每小时的油耗为11.5 L,欲使每小时的油耗不超过9 L,则速度x的值可以为 A.60 B.80 C.100 D.120 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由汽车以120 km/h的速度行驶时,每小时的油耗为11.5 L, 得＝11.5,解得k＝100, 故每小时油耗为－20, 由题意得－20≤9, 解得45≤x≤100, 又60≤x≤120,故60≤x≤100, 所以速度x的取值范围为[60,100]. 解析 7.某文具店购进一批新型台灯,若按每盏台灯15元的价格销售,每天能卖出30盏；若售价每提高1元,日销售量将减少2盏,现决定提价销售,为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入.则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是　 　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 {x|15<x<20} 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 结合题意易知,[30－2(x－15)]·x>400, 即x2－30x＋200<0,解得10<x<20, 因为x>15,所以15<x<20, 这批台灯的销售单价x的取值范围是{x|15<x<20}. 解析 8.在一条限速40 km/h的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,发现情况不对,同时刹车,但还是相撞了.事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m,乙车的刹车距离略超过10 m.又知甲、乙两种车型的刹车距离s m与车速 x km/h之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2,s乙＝0.05x＋0.005x2.则这次事故的主要责任方为　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 乙车 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由题意列出不等式s甲＝0.1x＋0.01x2>12, s乙＝0.05x＋0.005x2>10. 分别求解,得x甲<－40或x甲>30, x乙<－50或x乙>40. 由于x>0,从而得x甲>30,x乙>40. 经比较知乙车超过限速,应负主要责任. 解析 9.某地方政府为地方电子工业发展,决定对某一进口电子产品征收附加税,已知这种电子产品国内市场零售价为每件250元,每年可销售40万件,若政府征收附加税率为t%时,则每年减少t万件. (1)将税金收入表示为征收附加税率的函数； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 当征收附加税率为t%时,每年的销售量为万件,每件产品征收的附加税金为(250×t%)元,设税金收入为y万元,则所求函数关系为y＝250×t%×＝100t－4t2. 解 (2)若该项经营中每年征收附加税金不低于600万元,那么附加税率应控制在什么范围？ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由题意可知,y＝100t－4t2≥600, 即t2－25t＋150≤0,解得10≤t≤15, 即附加税率应控制在10%到15%之间. 解 10.某盲盒生产及销售公司今年初用98万元购进一批盲盒生产线,每年可有50万元的总收入,已知生产此盲盒x年(x为正整数)所用的各种费用总计为2x2＋10x万元. (1)该公司第几年首次盈利(总收入超过总支出,今年为第一年)？ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 设利润为y,则y＝50x－(98＋2x2＋10x)＝－2x2＋40x－98(x∈N＋), 由－2x2＋40x－98>0整理得x2－20x＋49<0, 解得10－<x<10＋由于x∈N＋, 所以x∈{x∈N＋|3≤x≤17}, 所以第3年首次盈利. 解 (2)该公司几年后年平均利润最大,最大是多少？ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 首先x∈ 由(1)得年平均利润为＝－2＋40≤－2×2＋40＝12(万元), 当且仅当x＝即x＝7万元时等号成立, 所以第7年年平均利润最大,最大为12万元. 解 11.大学毕业生小赵想开一家服装专卖店,经过预算,该门面需要装修费为 20 000元,每天需要房租、水电等费用100元,受经营信誉度、销售季节等因素的影响,专卖店销售总收益R(元)与门面经营天数x的关系是R(x)＝ 则当总利润最大时,该门面经营的天数是 A.300 B.310 C.325 D.405 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由题意,总利润 y＝ 当0≤x≤400时,y＝－(x－300)2＋25 000, 所以当x＝300时,ymax＝25 000； 当x>400时,y＝60 000－100x<20 000. 综上,当门面经营的天数为300时, 总利润最大为25 000元. 解析 12.(多选)为配制一种药液,进行了两次稀释,先在体积为V升的桶中盛满纯药液,第一次将桶中药液倒出10升后用水补满,搅拌均匀.第二次倒出8升后用水补满,若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%,则V的取值可以为 A.5 B.20 C.35 D.50 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第一次操作后,剩下的纯药液为(V－10)升, 第二次操作后,剩下的纯药液为升, 由题意可知V－10－×8≤V·60%, 即V2－45V＋200≤0,解得5≤V≤40, 因为V>10,所以10<V≤40,结合选项可知BC正确. 解析 13.(多选)如图所示,有一块矩形空地ABCD,要在这块空地上开辟一个内接四边形绿地(图中四边形EFGH).使其四个顶点分别落在矩形的四条边上,已知AB＝200米,BC＝100米,且AE＝AH＝CF＝CG,为使绿地面积不小于空地面积的一半,则AE的长可以为 A.30米 B.40米 C.50米 D.60米 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 设AE＝x米,则0<x≤100, ∴S△AEH＝x2,S△BEF＝(200－x)(100－x), ∴S四边形EFGH＝S矩形ABCD－2S△AEH－2S△BEF＝20 000－x2－(200－x)(100－x)＝－2x2＋300x, 依题意得－2x2＋300x≥10 000, 即x2－150x＋5 000≤0, 解得50≤x≤100,故AE的长最小为50米,结合选项可知CD正确. 解析 14.某热带风暴中心B位于海港城市A南偏东60°的方向,与A市相距400 km.该热带风暴中心B以40 km/h的速度向正北方向移动,影响范围的半径是350 km.问：从此时起,经　 　 h后A市将受热带风暴影响,大约受影响 　　 h.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.75 2.5 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 如图,以A市为原点,正东方向为x轴建立直角坐标系. ∵AB＝400 km,∠BAx＝30°, ∴风暴中心B的坐标为(200－200),x h后风暴中心B到达点P(20040x－200)处. 由已知,A市受风暴影响时,有AP≤350, 即(200)2＋(40x－200)2≤3502, 整理得16x2－160x＋375≤0, 解得3.75≤x≤6.25, A市受风暴影响的时间为6.25－3.75＝2.5(h). 故在3.75 h后,A市会受到风暴的影响,大约受影响2.5 h. 解析 第2章　 §2.3　一元二次不等式 <<< $