2.1.3 基本不等式的应用-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习课时作业word（新教材，湘教版）

2.1.3　基本不等式的应用 选题明细表 知识点、方法 题号 基本不等式的实际应用 5 基本不等式在求条件最值中的应用 1,2,3,4,6,8, 11,12,13 基本不等式在恒成立问题中的应用 7,9,10 基础巩固 1.已知x>0,y>0,xy=9,则x+3y的最小值为(　D　) A.8 B.6 C.8 D.6 解析:x+3y≥2=6,当且仅当x=3y=3时,等号成立,故选D. 2.已知实数m,n满足2m+n=2,其中m>0,n>0,则+的最小值为(　A　) A.4 B.6 C.8 D.12 解析:由题意,实数m,n满足2m+n=2,其中m>0,n>0, 则+=×(+)(2m+n)=×(4++)≥×(4+2)=4, 当且仅当=时,即m=,n=1时,等号成立, 所以+的最小值为4.故选A. 3.(2022·广东深圳高三月考)设正实数a,b满足a+kb=2(其中k为正常数),若ab的最大值为3,则k等于(　D　) A.3 B. C. D. 解析:因为正实数a,b满足a+kb=2(其中k为正常数), 所以a·kb≤=1,则a·b≤,所以=3,所以k=,故选D. 4.若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值为(　D　) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:因为x+3y=5xy,x>0,y>0,所以+=1, 所以3x+4y=(3x+4y)(+)=+++≥+2=5, 当且仅当=,即x=2y=1时,取等号.故选D. 5.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车并将其投入营运,据市场分析,每辆客车营运的总利润y(单位:万元)与营运年数x的函数关系为y=-(x-6)2+11(x∈N*),则营运的年平均利润最大时,每辆客车的营运年数为(　C　) A.3 B.4 C.5 D.6 解析:由题意可知,=-(x+)+12≤-2+12=2,当且仅当x=时,等号成立,即x=5时,营运的年平均利润最大.故选C. 6.周长为+1的直角三角形面积的最大值为　　　　.  解析:设直角三角形的两条直角边边长分别为a,b,则+1= a+b+≥2+,解得ab≤,当且仅当a=b=时取“=”,所以直角三角形面积S≤,即S的最大值为. 答案: 能力提升 7.(多选题)若a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式中对一切满足条件的a,b恒成立的是(　ACD　) A.ab≤1 B.+≤ C.a2+b2≥2 D.+≥2 解析:因为a>0,b>0,a+b=2,所以a+b=2≥2,即≤1,即ab≤1,故A正确;(+)2=a+b+2≤2(a+b)=4,故+≤2,故B错误; a2+b2=(a+b)2-2ab≥4-2=2,故C正确;+=(+)(a+b)=1+(+)≥1+×2=2,故D正确.故选ACD. 8.(2022·辽宁沈阳高一期中)若正数x,y满足x2+xy-2=0,则3x+y的最小值是(　A　) A.4 B.2 C.2 D.4 解析:因为x2+xy-2=0,所以y==-x,所以3x+y=3x+-x=2x+≥4,当且仅当x=1时等号成立,故选A. 9.已知不等式(x+y)(+)≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为(　B　) A.2 B.4 C.6 D.8 解析:因为a>0, 所以(x+y)(+)=1+a++≥1+a+2,由条件知a+2+1≥9, 所以a≥4.故选B. 10.(2022·长春高一月考)若命题“∀x>-2,a>”为真命题,则a的取值范围是(　B　) A.{a|a≥1} B.{a|a>1} C.{a|a≤1} D.{a|a<1} 解析:因为x>-2,所以x+2>0 所以==≤=1, 当且仅当x+2=,即x=-1时,等号成立, 所以由∀x>-2,a>成立,可得a>1,故选B. 11.(2021·天津高三期中)已知a,b均为正实数,且a+b=1,则的最小值为　　　　,此时a的值为　　　　.  解析:因为a,b均为正实数,且a+b=1,所以(a+b)2=1, 所以===+2=++2≥2+2=8, 当且仅当=, 即a=,b=时取等号, 所以的最小值为8. 答案:8　 应用创新 12.已知x,y为正实数,且满足x2+4y2+xy=5,则x+2y的最大值是(　B　) A. B.2 C. D.2 解析:因为x2+4y2+xy=5, 所以(x+2y)2=5+3xy, 所以x+2y=, 又5-xy=x2+4y2≥4xy,xy≤1, 所以x+2y=≤=2, 当且仅当x=2y=时取等号. 则x+2y的最大值是 2.故选B. 13.当0<x<时,关于x的不等式+≥m2恒成立,求实数m的取值 范围. 解:因为0<x<,所以0<1-2x<1, 所以+=(2x+1-2x)(+)=5++≥5+2= 5+4=9. 当且仅当=,即x=时,等号成