5.2.1 任意角三角函数的定义-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习教学课件ppt（新教材，湘教版）

5.2　任意角的三角函数 5.2.1　任意角三角函数的定义 数学 核心知识目标 核心素养目标 1.借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义. 2.能利用三角函数的定义,判断正 弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号. 通过对正弦函数、余弦函数、正切函数定义的理解与运用,重点发展学生的数学抽象和直观想象的核心 素养. 数学 知识探究·素养启迪 课堂探究·素养培育 数学 知识探究·素养启迪 1.用比值定义三角函数 (1)定义:设α是一个任意角,α∈R,在角α的终边OM上任取不同于原点O的点P,利用点P的坐标(x,y)定义: 知识探究 以上三个比值分别称为角α的正弦、余弦、正切. 数学 (2)三角函数:y=sin α,y=cos α,y=tan α分别叫作角α的正弦函数、余弦函数、正切函数.以上三种函数都称为三角函数.由于引入弧度制后,角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系,因此三角函数可以看成以实数为自变量的函数.在弧度制下,正弦函数、余弦函数和正切函数的定义域如下表所示: 数学 (3)用有向线段表示三角函数 如图单位圆中,将DP看作有方向的线段,D为起点,P为终点.当它指向y轴的正方向时,取正实数值y;当它指向y轴的负方向时,取负实数值y;当它的长度为0时,取零值.在所有的情况下都有DP=y=sin α,DP称为角α的正弦线. 同理OD=x=cos α,称为角α的余弦线,AT=tan α,称为角α的正切线.正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线. 数学 2.三角函数值的符号 如图所示. 即正弦: 象限正, 象限负; 余弦: 象限正, 象限负; 正切: 象限正, 象限负. 简记口诀:一全正、二正弦、三正切、四余弦. 一、二 三、四 一、四 二、三 一、三 二、四 数学 小试身手 B 数学 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 B 数学 3.如图,在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是(　 　) A.正弦线PM,正切线A′T′ B.正弦线MP,正切线A′T′ C.正弦线MP,正切线AT D.正弦线PM,正切线AT C 数学 数学 课堂探究·素养培育 [例1] 设a<0,角α的终边与单位圆的交点为P(-3a,4a),求sin α+2cos α的值. 探究点一 三角函数的定义及应用 数学 [变式训练1-1] 若将本例条件改为“角α的终边过点P(-3a,4a)(a≠0)”,其结果又如何? 数学 数学 [即时训练1-1] 已知角A的终边上一点P(15a,8a)(a∈R,且a≠0),求角A的 三个三角函数值. 数学 方法总结 由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值 (1)已知角α的终边在直线上时,常用的解题方法有以下两种: ①先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,然后再利用正弦函数、余弦函数、正切函数的定义求出相应三角函数值. (2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时,一定注意对字母正、负的辨别,若正、负未定,则需分类讨论. 数学 探究点二 三角函数值的符号 [例2] 确定下列各值的符号. 探究角度1　根据确定的角确定其函数值符号 (1)cos 260°; 解:(1)因为260°是第三象限角,所以cos 260°<0. 数学 [例2] 确定下列各值的符号. (3)tan(-672°20′); 解:(3)由-672°20′=47°40′+(-2)×360°, 可知-672°20′是第一象限角,所以tan(-672°20′)>0. 数学 [即时训练2-1] 判断下列各式的符号. (1)tan 191°-cos 191°; 解:(1)因为191°是第三象限角, 所以tan 191°>0,cos 191°<0, 所以tan 191°-cos 191°>0. (2)sin 2·cos 3·tan 4. 解:(2)因为2是第二象限角,3是第二象限角,4是第三象限角, 所以sin 2>0,cos 3<0,tan 4>0, 所以sin 2·cos 3·tan 4<0. 数学 方法总结 根据确定的角判断其相应三角函数值的符号,首先利用终边相同的角将所给角转化为(0,2π]内的角,判断其所在象限后,结合三角函数特征确定 符号. 数学 探究角度2　根据三角函数值符号,确定角的终边所在象限 [例3] 根据下列条件,确定θ是第几象限角. (1)cos θ与tan θ异号; 数学 [例3] 根据下列条件,确定θ是第几象限角. (2)cos θ与sin θ同号. 数学 [即时训练3-1] 已知sin θ<0,且tan θ<0,则θ为(　　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 解析: