4.1.3 幂函数-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习教学课件ppt（新教材，湘教版）

4.1.3　幂函数 数学 数学 知识探究·素养启迪 课堂探究·素养培育 数学 知识探究·素养启迪 1.幂函数 (1)定义:一般来说,当x为自变量而α为非零实数时,函数 叫作(α次)幂函数. 知识探究 y=xα 数学 (3)幂函数的图象特征 一般地,对于实数次幂函数y=xα(α≠0): ①当α>0时,它在[0,+∞)有定义且递增,值域为[0,+∞),函数图象过(0,0)和(1,1)两点; ②当α<0时,它在(0,+∞)有定义且递减,值域为(0,+∞),函数图象过(1,1),向上与y轴正向无限接近,向右与x轴正向无限接近. 数学 2.常见幂函数的图象与性质 {x|x≠0} [0,+∞) [0,+∞) {y|y≠0} [0,+∞) 数学 奇偶性 函数 函数 函数 函数 .函数 单调性 在(-∞,+∞)上单调 . 在(-∞,0]上单调 , 在(0,+∞)上单调 . 在(-∞, +∞)上单调 . 在(-∞,0)上单调 ,在(0,+∞)上单调 . 在[0,+∞)上单调 . 定点 . 奇 偶 奇 奇 非奇非偶 递增 递减 递增 递增 递减 递减 递增 (1,1) 数学 小试身手 B 1.下列所给出的函数中,是幂函数的是(　 　) A.y=-x3 B.y=x-3 C.y=2x3 D.y=x3-1 解析:由幂函数的定义知,只有B符合.故选B. 数学 2.下列函数中,在(-∞,0)上单调递增的是(　 　) A 数学 3.已知幂函数y=xα的图象经过点(2,4),则f(-3)=　　 　　.  解析:由于幂函数y=xα的图象经过点(2,4),即2α=4,解得α=2,故f(-3)= (-3)2=9. 答案:9 数学 答案:(-∞,+∞)　偶函数 数学 课堂探究·素养培育 探究点一 幂函数的概念 数学 A.-1 B.0 C.1 D.2 数学 方法总结 幂函数解析式特征 (1)xα的系数是1. (2)xα的底数是自变量,指数α为常数. (3)项数只有一项. 数学 探究点二 幂函数的图象 A.-2或0 B.-1 C.0 D.-2 解析:由幂函数在第一象限的单调性可得,m2+2m-3<0,解得-3<m<1.再由m∈Z可得m=-2或-1或0.又从图象可知该函数是奇函数,若m=-2,则m2+2m-3=-3,符合题意;若m=-1,则m2+2m-3=-4,不合题意;若m=0,则m2+2m-3=-3,符合题意,综上,m=-2或0.故选A. 数学 A.C2,C1,C3,C4 B.C4,C1,C3,C2 C.C3,C2,C1,C4 D.C1,C4,C2,C3 数学 方法总结 (1)幂函数的图象一定出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限内,图象最多只能同时出现在两个象限内,至于是否在第二或第三象限内出现要看幂函数的奇偶性. (2)幂函数y=xα的图象分布与幂指数α的关系具有如下规律:在直线x=1的右侧,按“逆时针”方向,图象所对应的幂指数依次增大(如图). (3)根据图象研究函数解析式时,应结合函数在第一象限的单调性确定y=xα中α的符号,根据图象的对称性,确定α是奇数还是偶数. 数学 探究点三 幂函数的性质 探究角度1　幂函数的单调性 [例3] 比较下列各组数的大小. 数学 [例3] 比较下列各组数的大小. 数学 [例3] 比较下列各组数的大小. 数学 [即时训练3-1] 比较下列各组中两个数的大小. 数学 方法总结 (1)根据幂函数性质比较大小,首先应明确幂函数单调性,y=xα中,若α>0,函数在(0,+∞)上是增函数;若α<0,则函数在(0,+∞)上是减函数. (2)利用幂函数性质比较大小 ①当幂的底数不同,指数相同时,可以利用幂函数的单调性比较大小; ②当幂的底数和指数都不相同时,一种方法是作商,通过商与1的大小关系确定两个幂值的大小;另一种方法是找到一个中间值,通过比较两个幂值与中间值的大小,从而确定两个幂值的大小,而中间值一般选取0或1. 数学 探究角度2　幂函数性质综合应用 [例4] (2022·江西上饶高一期中联考)已知幂函数f(x)=(m2-5m+7)xm+1 (m∈R)为偶函数. (1)求f(x)的解析式; 解:(1)幂函数f(x)=(m2-5m+7)xm+1(m∈R)为偶函数, 所以m2-5m+7=1,解得m=2或m=3; 当m=2时,m+1=3不符合题意,舍去; 当m=3时,m+1=4满足题意; 所以f(x)=x4. 数学 [例4] (2022·江西上饶高一期中联考)已知幂函数f(x)=(m2-5m+7)xm