3.1.3 简单的分段函数-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习教学课件ppt（新教材，湘教版）

3.1.3　简单的分段函数 数学 核心知识目标 核心素养目标 通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用. 结合实例,加深对分段函数概念的理解及应用,提升逻辑推理、数学运算的核心素养. 数学 知识探究·素养启迪 课堂探究·素养培育 数学 知识探究·素养启迪 分段函数 (1)定义:一般地,如果自变量在定义域的不同取值范围内时,函数由不同的解析式给出,这种函数叫作分段函数. (2)特征:分段函数是一个函数,其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集;各段函数的定义域的交集是空集. 知识探究 数学 小试身手 解析:因为f(2π)=-1, 所以f(f(2π))=f(-1)=π. 故选B. B 数学 2.已知f(x)的图象如图所示,则f(x)的定义域为　　　,值域为　　　　.  解析:函数的定义域对应图象上所有点横坐标的取值集合,值域对应纵坐标的取值集合. 答案:[-2,4]∪[5,8]　[-4,3] 数学 3.若函数f(x)的图象如图所示,则函数f(x)的解析式为　 .  数学 课堂探究·素养培育 探究点一 分段函数求值 数学 数学 解析:(2)由于x∈[-1,1]时,f(x)=2≠6,故a∉[-1,1]. 若a∈(-∞,-1),则-2a=6,得a=-3,符合题意; 若a∈(1,+∞),则2a=6,得a=3,符合题意. 所以a的值为-3或3. 数学 解析:(1)由f(1)=2,所以f(a)=-2, 当a>0时,2a+2=0, 解得a=-1,舍去; 当a≤0时,a+2+2=0, 解得a=-4.故选A. 答案:(1)A 数学 答案:(2)9 数学 方法总结 (1)求分段函数的函数值的方法:先确定要求函数值的自变量的取值属于哪一段区间,然后代入该段的解析式求值.当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值. (2)已知分段函数的函数值,求自变量的值的方法:先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上,然后求出相应的自变量的值,切记要检验. 数学 探究点二 分段函数的图象 解:(1)当a≥0时,由f(a)=a2+4=5,得a=1; 当a<0时,由f(a)=4-a=5,得a=-1. 综上,a=1或-1. 数学 解:(2)函数图象如图所示. 因为f(0)=4,f(2)=22+4=8, f(-2)=4-(-2)=6, 所以由图象知函数f(x)在[-2,2]上的值域为[4,8]. 数学 解:(1)作出f(x)的图象,如图所示. (2)求f(x)的定义域和值域. 解:(2)观察函数图象可知,函数f(x)的定义域为R,值域为[0,1]. 数学 方法总结 画分段函数的图象时,一定要考虑区间端点是否包含在内,若端点包含在内,则用实心点表示;若端点不包含在内,则用空心圈表示,应按分段分别作出其图象,在作每一段图象时,先不管定义域的限制,用虚线作出其图象,再用实线保留其在该段定义域内的图象即可,即“整段作图分 段取”. 数学 探究角度2　根据函数图象写函数解析式 [例3] 如图,函数f(x)的图象为折线ACB,求函数的解析式. 数学 数学 [即时训练3-1] 已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式是 　　　　　　　.  解析:设线段AB段的方程为y=k1x+b1,则由线段过点A(-1,0), B(0,1)知y=x+1;线段OC过原点与(1,-1), 故方程为y=-x. 数学 方法总结 根据分段函数的图象求分段函数解析式时,应根据各段图象的特征,结合待定系数法求函数解析式的方法求出各段的解析式;最后用分段函数形式写出,要注意各段端点的“含”与“不含”. 数学 探究点三 分段函数的应用 数学 数学 解析:当a≤-2时,f(a)=a<-3,此时a的取值范围是(-∞,-3); 当-2<a<4时,f(a)=a+1<-3,此时无解; 当a≥4时,f(a)=3a<-3,此时无解. 综上,a的取值范围是(-∞,-3). 答案:(-∞,-3) 数学 方法总结 求解与分段函数有关的不等式,应在每段函数定义域限制之下结合每段函数的解析式解不等式,然后将解集与每段的定义域取交集,最后将各交集“并”起来. 数学 探究角度2　分段函数的实际应用 [例5] 等腰梯形ABCD的两底分别为AD=2a,BC=a,∠BAD=45°,作直线MN⊥AD交AD于点M,交折线ABCD于点N,记AM=x(0≤x≤2a),试将梯形ABCD位于直线MN左侧的面积y表示为x的函数. 数学 数学 数学 [即时训练5-1] 学校宿舍与办公室相距a m.某同学有重要材料要送交给老师,从宿舍出发,先匀速跑步3 min来到办公室,停留2 min,然后匀速步行 10 min 返回宿舍.在这个过程中,这名同学行进的速率和行走的路程都是时间的函数,作出速率函数和路程