2.3.2 一元二次不等式的应用-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习教学课件ppt（新教材，湘教版）

2.3.2　一元二次不等式的应用 数学 核心知识目标 核心素养目标 1.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型,并加以解决. 2.能够灵活运用三个“二次”之间的关系解决与一元二次不等式有关的恒成立问题. 1.从一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的相互联系,求解一元二次不等式及与一元二次不等式有关的恒成立问题,发展直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养. 2.通过运用一元二次不等式解决实际问题,提升数学建模、数学运算的核心素养. 数学 知识探究·素养启迪 课堂探究·素养培育 数学 知识探究·素养启迪 知识探究 (2)不等式ax2+bx+c>0的解集是R(或恒成立)的等价条件是 ;   (3)一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集是R(或恒成立)的等价条件是 ; 数学 2.用一元二次不等式解决实际问题的步骤 (1)理解题意,搞清量与量之间的关系. (2)建立相应的不等关系,把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式 问题. (3)解决这个一元二次不等式,得到实际问题的解. 数学 小试身手 1.若x∈R时,x2-kx-k≥0恒成立,则k的取值范围是　　　　.  解析:由x∈R,x2-kx-k≥0恒成立知k2+4k≤0,解得-4≤k≤0. 答案:{k|-4≤k≤0} 数学 数学 3.若产品的总成本y(单位:万元)与产量x(单位:台)之间的函数关系式是y= 3 000+20x-0.1x2(0<x<240),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本 (销售收入不小于总成本)时的最低产量是　　　　台.  答案:150 解析:y-25x=-0.1x2-5x+3 000≤0, 即x2+50x-30 000≥0, 解得x≥150或x≤-200(舍去). 数学 课堂探究·素养培育 [例1] 如图所示,将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要求 B点在AM上,D点在AN上,且对角线MN过C点,已知AB=3米,AD=4米. 若矩形AMPN的面积大于50平方米,则DN的长x(单位:米)的取值范围是　 .  探究点一 一元二次不等式在实际问题中的应用 数学 数学 方法总结 应用一元二次不等式解决实际问题的一般步骤: (1)阅读理解,认真审题,分析题目中有哪些已知量和未知量,找准不等关系. (2)设出起关键作用的未知量,用不等式表示不等关系(或表示成函数关系). (3)解不等式(或求函数最值). (4)联系实际问题. 数学 探究点二 一元二次不等式恒成立问题 [例2] (1)若关于x的不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0在R上恒成立(即解集为R),则实数a的取值范围是　　　　　　;  数学 答案:(2)-3≤a≤0 数学 答案:(3)a<0或a>4 (3)若存在实数x,使得不等式x2-ax+a<0成立,则实数a的取值范围为 　　　　　　. 解析:(3)因为存在实数x,使得不等式x2-ax+a<0成立,所以Δ=(-a)2-4a>0, 解得a<0或a>4. 数学 答案:(1)C [即时训练2-1] (1)对于任意实数x,不等式ax2+2ax-(a+2)<0恒成立,则实数a的取值范围是(　　) A.{a|-1≤a≤0} B.{a|-1≤a<0} C.{a|-1<a≤0} D.{a|-1<a<0} 解析:(1)当a<0时,令Δ=4a2+4a(a+2)=8a2+8a<0,所以8a(a+1)<0, 所以-1<a<0, 当a=0时,-2<0成立.综上,实数a的取值范围是-1<a≤0.故选C. 数学 答案:(2)D 数学 答案:(3){a|a<4} (3)若存在实数x,使得关于x的不等式ax2-4x+a-3<0成立,则a的取值范围是　　 .  数学 方法总结 数学 备用例题 数学 数学 课堂达标 A 解析:不等式x2-4x-2-a≥0在{x|1≤x≤4}内有解等价于在{x|1≤x≤4}内, a≤(x2-4x-2)max. 当1≤x≤4时,-6≤x2-4x-2≤-2, 所以a≤-2.故选A. 数学 2.已知关于x的不等式kx2-6kx+k+8≥0对任意x∈R恒成立,则k的取值范围是(　 　) A.0≤k≤1 B.0<k≤1 C.k<0或k>1 D.k≤0或k>1 解析:当k=0时,不等式为8≥0恒成立,符合题意;当k>0时,若不等式kx2-6kx+k+8≥0对任意x∈R恒成立, 则Δ=36k2-4k(k+8)≤0,解得0<k≤1; 当k<0时,不等式kx2-6kx+k+8≥0不能对任意x∈R恒成立. 综上,k的取值范围是0≤k≤1.故选A. A 数学 解析:设售价定为每件x元,利润为y元, 则y=(x-8)[100-10(x-10)], 依题意有(x-8)[1