2.3.1 一元二次不等式及其解法-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习教学课件ppt（新教材，湘教版）

2.3　一元二次不等式 2.3.1　一元二次不等式及其解法 数学 核心知识目标 核心素养目标 1.了解一元二次不等式的实际意义.能借助一元二次函数求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集. 2.借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程,达成数学抽象和数学建模的核心素养. 2.从一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的相互联系,求解一元二次不等式及与一元二次不等式有关的恒成立问题,发展直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养. 数学 知识探究·素养启迪 课堂探究·素养培育 数学 知识探究·素养启迪 1.一元二次不等式 (1)我们把只含有 未知数,并且未知数的最高次数是 的不等式,称为一元二次不等式. (2)一元二次不等式的一般形式是 或 ,其中a,b,c均为常数,a≠0. 知识探究 一个 2 ax2+bx+c>0 ax2+bx+c<0 数学 2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 {x|x<x1,或x>x2} {x|x1<x<x2} 数学 3.分式不等式的解法 数学 小试身手 1.不等式x2-5x+6<0的解集是(　 　) A.{x|x>1或x<-6} B.{x|x>6或x<-1} C.{x|x>3或x<2} D.{x|2<x<3} 解析:不等式x2-5x+6<0化为(x-2)(x-3)<0,解得2<x<3, 所以不等式的解集是{x|2<x<3}.故选D. D 数学 2.不等式-3x2+5x-4>0的解集为　　　　.  数学 3.若关于x的不等式x2-3ax+2>0的解集为{x|x<1 或x>m},则a+m等于　　 .  答案:3 数学 4.已知一元二次不等式ax2+2x-1<0的解集为R,则a的取值范围是　　　　.  答案:{a|a<-1} 数学 课堂探究·素养培育 [例1] 解不等式: (1)2x2-3x-2>0; 探究点一 解不含参数的一元二次不等式 数学 [例1] 解不等式: (2)-3x2+6x-2>0; 数学 [例1] 解不等式: (3)4x2-4x+1≤0; 数学 [例1] 解不等式: (4)x2-2x+2>0. 数学 [即时训练1-1] 解下列不等式: (1)3x2+2x>2-3x; 数学 [即时训练1-1] 解下列不等式: (2)9x2-6x+1>0; 数学 [即时训练1-1] 解下列不等式: (3)-2x2+x+1<0; 数学 [即时训练1-1] 解下列不等式: (4)x2-4x+5<0. 数学 方法总结 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤: (1)通过对不等式的变形,使不等式右侧为0,二次项系数为正. (2)对不等式左侧进行因式分解,若不易分解,则计算对应方程的判别式. (3)求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根. (4)根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数图象. (5)根据图象写出不等式的解集. 数学 探究点二 一元二次不等式、一元二次方程与二次函数间的关系 数学 数学 方法总结 (1)一元二次不等式解集的端点是一元二次不等式对应的一元二次方程的根. (2)给出了一元二次不等式的解集,则可知a的符号和ax2+bx+c=0的两个实根,由根与系数的关系可知a,b,c之间的关系. 数学 数学 探究点三 含参数的一元二次不等式 探究角度1　二次项系数不含参数且能因式分解型 [例3] 解关于x的不等式x2-(3a+1)x+2a(a+1)<0(a∈R). ②当2a>a+1⇔a>1时,原不等式解集为{x|a+1<x<2a}; 数学 [即时训练3-1] 解关于x的不等式x2+2x+1-a2≤0(a∈R). 解:原不等式等价于(x+1+a)(x+1-a)≤0. (1)当-1-a<-1+a,即a>0时,-1-a≤x≤-1+a. (2)当-1-a=-1+a,即a=0时,不等式即为(x+1)2≤0,所以x=-1. (3)当-1-a>-1+a,即a<0时,-1+a≤x≤-1-a. 综上,当a>0时,原不等式的解集为{x|-1-a≤x≤-1+a}; 当a=0时,原不等式的解集为{x|x=-1}; 当a<0时,原不等式的解集为{x|-1+a≤x≤-1-a}. 数学 方法总结 含参数的一元二次不等式,若二次项系数不含参数,且不等式对应的方程能够因式分解(或方程根可求),应按不等式对应方程根的大小分类讨论. 数学 探究角度2　二次项系数含参数且能因式分解型 [例4] 解关于x的不等式ax2-2≥2x-ax(a∈R). 解:原不等式可化为ax2+(a-2)x-2≥0. (1)当a=0时,原不等式化为x+1≤0, 解得x≤-