2.1.3 基本不等式的应用-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习教学课件ppt（新教材，湘教版）

2.1.3　基本不等式的应用 数学 核心知识目标 核心素养目标 1.掌握基本不等式在实际问题中的应用. 2.掌握利用基本不等式求参数取值范围的方法. 1.通过基本不等式的实际应用,提高数学建模与数学运算的核心素养. 2.通过利用基本不等式求最大值或最小值、条件最值和参数的取值范围,发展逻辑推理与数学运算素养. 数学 知识探究·素养启迪 课堂探究·素养培育 数学 知识探究·素养启迪 基本不等式与最值 知识探究 小 大 数学 小试身手 AC 数学 数学 数学 数学 4.长为2L的铁丝,围成一个矩形,该矩形的最大面积为　　　　.  数学 课堂探究·素养培育 [例1] 某公司建造一间背面靠墙的房屋(长方体型),地面面积为48 m2,房屋正面每平方米的造价为1 200元,房屋侧面每平方米的造价为800元,屋顶的造价为5 800元.如果墙高为3 m,且不计房屋背面和地面的费用,那么怎样设计房屋能使总造价最低?最低总造价是多少? 探究点一 利用基本不等式求解实际问题中的最值 数学 数学 [即时训练1-1] 某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD,公园由长方形的休闲区A1B1C1D1(阴影部分)和环公园人行道组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000 m2,人行道的宽分别为4 m和10 m. (1)若设休闲区的长A1B1=x m,求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式; 数学 [即时训练1-1] 某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD,公园由长方形的休闲区A1B1C1D1(阴影部分)和环公园人行道组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000 m2,人行道的宽分别为4 m和10 m. (2)要使公园所占面积最小,休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计? 数学 探究点二 利用基本不等式求条件最值 数学 数学 数学 数学 方法总结 常数代换法适用于求解条件最值问题,应用此种方法求解最值的基本步骤为 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数). (2)把确定的定值(常数)变形为1. (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积的形式. (4)利用基本不等式求解最值. 数学 数学 [即时训练3-1] 已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,求x+2y的最小值. 数学 方法总结 提醒:若题目要求同时求出xy和bx+cy的最值,可以先求出一个最值,然后直接利用axy+bx+cy+d=0求出另一个的最值. 数学 探究点三 利用基本不等式求解含参数的恒成立问题 [例4] 若x>0时,x2-(k+1)x+2>0恒成立,求k的取值范围. 数学 [即时训练4-1] 若x>0时,不等式x2+mx+4≥0恒成立,求实数m的取值范围. 数学 方法总结 含参数的不等式恒成立问题,若能分离参数,常分离参数后求解.一般地,若a≥f(x)恒成立,则a≥f(x)的最大值(其中f(x)是关于变量x的关系式), a≤f(x)恒成立,则a≤f(x)的最小值.若a≥f(x)有解,则a≥f(x)的最小 值,a≤f(x)有解,则a≤f(x)的最大值. 数学 备用例题 [例1] (多选题)已知正数a,b满足a2+b2=2a+2b,若a+b∈Z,则a+b的值可以是(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 数学 [例2] 设矩形ABCD(其中AB>BC)的周长为24,如图所示,把它沿对角线AC对折后,AB交DC于点P.设AB=x,求△ADP的最大面积. 数学 数学 数学 课堂达标 数学 数学 答案:3 数学 4.若x<0且不等式x2-ax+1≥0恒成立,则a的最小值是　　　　.  答案:-2 数学 点击进入 课时训练·分层突破 数学 已知x,y都是正数,则 (1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,和x+y有最 值2. (2)如果和x+y是定值s,那么当且仅当x=y时,积xy有最 值. 1.(多选题)若正实数a,b满足a+b=1,则下列选项中正确的是(　 　) A.ab有最大值 B.+有最小值 C.+有最小值4 D.a2+b2有最小值 解析:因为a>0,b>0,且a+b=1,所以a+b≥2,所以ab≤. 所以ab有最大值,当且仅当a==b时取得.故选项A正确. 当a=,b=时,+=<.故选项B错误. +==≥4,当且仅当a=b=时取得等号. 所以+有最小值4.故选项C正确. 当a==b时,a2+b2=<.故选项D错误.故选AC. 2.已知a>0,b>0,且a+=1,则ab的最大值为　　　　.  解析:因为1=a+≥2, 所以≤, 所以ab≤,当a=,即a=,b=1时取等号. 答案: 3.若实数x,y满足xy=1,则x2+2y2的最小值为　　　　.  解析:x2+2y