第六章 概 率 章末总结-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，北师大版）

章末总结 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) 1.离散型随机变量的分布列中,各个概率之和可以小于1.(　×　) 2.随机变量的均值是常数,样本的平均值是随机变量.(　√　) 3.随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度,方差或标准差越小,偏离变量的平均程度越小.(　√　) 4.如果随机变量X的分布列如表,则它服从两点分布.(　×　) X 2 5 P 0.3 0.7 5.一个盒中装有4个黑球,3个白球,从中任取一球,若是白球则取出来,若是黑球则放回盒中,直到把白球全部取出,设取到黑球的次数为X,则X服从超几何分布.(　×　) 6.对于任意两个事件,公式P(AB)=P(A)P(B)都成立.(　×　) 7.正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布,参数μ是正态分布的期望,σ是正态分布的标准差.(　√　) 8.二项分布是一个概率分布列,是一个用公式P(X=k)=pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n表示的概率分布列,它表示了n次独立重复试验中事件A发生的次数的概率分布.(　√　) 题型一　条件概率 [例1] 甲、乙两班进行消防安全知识竞赛,每班出3人组成甲、乙两支代表队,首轮比赛每人一道必答题,答对则为本队得1分,答错或不答都得0分.已知甲队3人每人答对的概率分别为,,,乙队每人答对的概率都是.设每人回答正确与否相互之间没有影响,用ξ表示甲队总得分. (1)求ξ=2的概率; (2)求在甲队和乙队得分之和为4的条件下,甲队比乙队得分高的概率. 解:(1)P(ξ=2)=××+××+××=. (2)设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A,“甲队比乙队得分高”为事件B,P(ξ=1)=×(1-)×(1-)+(1-)××(1-)+(1-)×(1-)×=,P(ξ=3)=××=,则 P(A)=×)3+×)2×+××()2=, P(AB)=×)1×()2=, 所以P(B|A)===. 对于条件概率的求法有两种,一是直接利用公式;二是缩小样本空间,利用古典概型求解. 题型二　离散型随机变量的分布列及均值和方差 [例2-1] 据调查,目前对于已经近视的小学生,有两种佩戴眼镜的选择,一种是佩戴传统的框架眼镜;另一种是佩戴角膜塑形镜,这种眼镜是晩上睡觉时佩戴的一种特殊的隐形眼镜(因其在一定程度上可以减缓近视的发展速度,越来越多的小学生家长选择角膜塑形镜控制孩子的近视发展),A市从该地区小学生中随机抽取容量为100的样本,其中因近视佩戴眼镜的有24人(其中佩戴角膜塑形镜的有8人,其中2名是男生,6名是女生). (1)从这8名戴角膜塑形镜的学生中,选出3人,求其中男生人数X的分布列; (2)若将样本的频率作为估计总体的概率,请问,从A市的小学生中,随机选出20位小学生,求佩戴角膜塑形镜的人数Y的数学期望和方差. 解:(1)依题意,佩戴角膜塑形镜的有8人,其中2名是男生,6名是女生,故从中抽3人,男生人数X的所有可能取值分别为0,1,2, P(X=0)===; P(X=1)===; P(X=2)===, 所以男生人数X的分布列为 X 0 1 2 P (2)由已知可得Y～B(20,0.08), 则EY=np=20×0.08=1.6,DY=np(1-p)=20×0.08×0.92=1.472, 所以佩戴角膜塑形镜的人数Y的数学期望是 1.6,方差是1.472. [例2-2] 现有编号为1,2,3的三只小球和编号为1,2,3的三个盒子,将三只小球逐个随机地放入三个盒子中,每只球的放置相互独立. (1)求恰有一个空盒的概率; (2)求三只小球在三个不同的盒子中,且每只球编号与所在盒子编号不同的概率; (3)记录所有至少有一只球的盒子,以X表示这些盒子编号的最小值,求EX,DX. 解:(1)记“恰有一个空盒”为事件A, 则P(A)==. (2)记“三只小球在三个不同的盒子中,且每只球的编号与所在盒子编号不同”为事件B, 则P(B)==. (3)随机变量X的所有可能取值为1,2,3, X=1表示“1号盒子一定有球”,X=2表示“2号盒子一定有球且1号盒子一定没有球”,X=3表示“球都在3号盒子里”, 所以P(X=1)==, P(X=2)==, P(X=3)==, X的分布列为 X 1 2 3 P EX=1×+2×+3×=, DX=(1-)2×+(2-)2×+(3-)2×=. 求分布列中每一个取值的概率主要用到以下知识 (1)古典概型求概率主要用到排列组合的知识,有序用排列,无序用组合,必要时要列举以寻找规律. (2)互斥事件(含对立事件)、独立事件概率公式,分类用加法原理,分步用乘法原理.一定要用两个计数原理分析问题,不可盲目套用公式. 题型三　二项分布 [例3] 某平台的“挑战答题”