第二章 圆锥曲线 章末总结-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，北师大版）

章末总结 [footnoteRef:2] [2: 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) 1.平面内到点F1(-4,0),F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆.(　×　) 2.“直线与抛物线有一个交点”是“直线与抛物线相切”的必要不充分条件.(　√　) 3.抛物线x2=4y,y2=4x的x,y的取值范围是不同的,但是其焦点到准线的距离是相同的,离心率也相同.(　√　) 4.椭圆标准方程的两种形式中,虽然焦点位置不同,但都满足a2=b2+c2.(　√　) 5.设F为椭圆 +=1(a>b>0)的一个焦点,M为其上任一点,则|MF|的最大值为a+c(c为椭圆的半焦距).(　√　) 6.双曲线有四个顶点,分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点.(　×　) 7.双曲线 -=1与-=1(a>0,b>0)的渐近线相同.(　×　) 8.平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线.(　×　)] 题型一　圆锥曲线的定义和标准方程 [例1] (1)(多选题)已知方程mx2+ny2=1(m,n∈R),则下列四个选项中正确的是(　　) A.当m>n>0时,方程表示椭圆,其焦点在y轴上 B.当m=n>0时,方程表示圆,其半径为 C.当mn<0时,方程表示双曲线,其渐近线方程为y=±·x D.方程表示的曲线不可能为抛物线 (2)若双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍,且一个顶点的坐标为(0,2),则双曲线的标准方程为(　　) A.-=1 B.-=1 C.x2-=1 D.y2-=1 解析:(1)由mx2+ny2=1,可得+=1.对于A,当m>n>0时,0<<,所以方程表示焦点在y轴上的椭圆,故A正确;对于B,当m=n>0,方程表示半径为的圆,故B错误;对于C,当mn<0时,方程表示双曲线,渐近线方程为mx2+ny2=0,即y=±·x,故C正确;对于D,该方程中并不含有一次项,所以其表示的曲线不可能为抛物线,故D正确.故选ACD. (2)双曲线一个顶点的坐标为(0,2),可得双曲线的焦点在y轴上,且a=2. 又2a+2b=·2c,所以2+b=c,① 又c2=a2+b2=4+b2,② ①②联立,解得c=2,b=2,所以双曲线的标准方程为-=1.故选B. 求圆锥曲线的标准方程首先确定焦点的位置,得出圆锥曲线的形式,再根据已知条件求得曲线方程中的系数. 题型二　圆锥曲线的几何性质 [例2] (1)已知双曲线x2-=1(a>0)的一条渐近线与直线x-2y+3=0垂直,则a的值为(　　) A.2 B.3 C.4 D.±4 (2)(多选题)某文物考察队在挖掘时,挖出了一件小文物,该文物外面是红色透明蓝田玉材质,里面是一个球形绿色水晶宝珠,其轴截面(如图)由半椭圆C1:+=1(x≥0)与半椭圆C2:+=1(x<0,d>0)组成,其中a2=b2+c2,a>b>c>0,设点F0,F1,F2是相应椭圆的焦点,A1,A2和B1,B2是轴截面与x轴,y轴交点,阴影部分是宝珠轴截面,其以曲线x2+y2=4为边界,F1,F2在宝珠珠面上,若∠F1F0F2=60°,则以下命题中正确的是(　　) A.椭圆C1的离心率是 B.椭圆C1上的点到点F0的距离的最小值为2-2　 C.椭圆C2的焦距为4 D.椭圆C2的长短轴之比大于椭圆C1的长短轴之比 解析:(1)因为双曲线x2-=1(a>0)的渐近线方程为y=±x,又其一条渐近线与直线x-2y+3=0垂直,直线x-2y+3=0的斜率为,所以-=-2⇒a=4.故选C. (2)因为F1,F2是半椭圆C2:+=1(x<0)的焦点,所以F1,F2关于原点对称,且|F0F1|=|F0F2|,又因为∠F1F0F2=60°,所以△F1F0F2为正三角形,|OF0|=|OF1|, 因为F1,F2在x2+y2=4上,所以|OF1|=2, 所以|OF0|=|OF1|=2. 又因为半椭圆C1:+=1(x≥0)的短轴与半椭圆C2:+=1(x<0)的长轴相等,即d=b, 对于半椭圆C1:+=1(x≥0), a2-b2=|OF0|2=(2)2=12, 对于半椭圆C2:+=1(x<0), d2-c2=|OF1|2=4, 所以所以 所以a2-c2=16,即b2=d2=16, 即c2=12,a2=28, 所以半椭圆C1的方程为+=1(x≥0),半椭圆C2的方程为+=1(x<0). 对于A选项,椭圆C1的离心率为e===,不正确; 对于B选项,椭圆C1上的点到F0距离的最小值为2-2,正确; 对于C选项,椭圆C2的焦距为|F1F2|=4,正确; 对于D选项,椭圆C1的长短轴之比为==,椭圆C2的长短轴之比为==,因为()2=≈1.<()2==1.75,所以< ,所以椭圆C2的长短轴之比小于椭圆C1的长短轴之比,不正确.故选BC. 椭圆、双