6.5 正态分布-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，北师大版）

§5　正态分布 学习目标 1.通过实际问题的频率分布直方图,了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,能够说出正态分布的参数μ,σ对正态分布曲线形状和位置的影响,提升数学抽象和直观想象素养. 2.了解变量落在区间(μ-σ,μ+σ],(μ-2σ,μ+2σ],(μ-3σ,μ+3σ]的概率大小,并能够利用“3σ原则”解决实际问题,提升数学运算素养. 问题:在频率分布直方图中,随着组距的增多其形状会越来越像一条钟形曲线,那么这条曲线是否存在函数解析式呢? 提示:存在.随着组距的无限增加,得到的曲线为随机变量X的分布密度曲线,曲线对应的函数称为X的分布密度函数. 1.正态分布曲线及其性质 (1)由误差引起的连续型随机变量其分布密度函数图象对应的分布密度函数解析式为μ,σ(x)=,x∈(-∞,+∞),其中实数μ,σ(σ>0)为参数,这一类随机变量X的分布密度(函数)称为正态分布密度(函数),简称正态分布,对应的图象为正态分布密度曲线,简称为正态曲线. (2)若随机变量X服从正态分布,那么这个正态分布完全由参数μ,σ(σ>0)确定,记为X～N(μ,σ2).其中EX=μ,DX=σ2. (3)正态曲线的性质. ①非负性:对∀x∈R,f(x)>0,它的图象在x轴的上方. ②对称性:曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称. ③最大值:曲线在x=μ处达到峰值. ④当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴. ⑤当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿x轴平移,如图a. ⑥当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ较小时曲线“瘦高”,表示总体的分布比较集中;σ较大时,曲线“矮胖”,表示总体的分布比较分散,如图b. 思考1:正态分布的几何意义是什么呢? 提示: 正态分布的特点: 如果一个随机变量X服从正态分布,那么对于任何实数a,b(a<b),随机变量X在区间(a,b]的概率P(a<X≤b)的几何意义就是随机变量X的分布密度曲线在区间(a,b]对应的曲边梯形面积的值(如图). 且曲线与x轴之间的面积为1. 2.3σ原则 若X～N(μ,σ2),则 P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.682 6,  P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.954 4,  P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈0.997 4.  随机变量X在区间(μ-3σ,μ+3σ]外取值的概率只有约0.3%,认为是小概率事件.通常认为服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取区间(μ-3σ,μ+3σ]之间的值,并称之为3σ原则. 思考2:检查员抽查某产品的厚度为104 mm,已知该产品的均值为100 mm,标准差为1 mm,他有理由要求工人停止生产,检查设备吗? 提示:有理由.因为X～N(100,1),即产品厚度在(97,103]之间的概率约为0.997 4,但是抽取产品的厚度为104 mm,说明设备运行可能不正常,所以有理由要求工人停止生产,检查设备. 正态曲线及其性质 [例1] (多选题)甲、乙两类水果的质量(单位:kg)分别服从正态分布N(μ1,),N(μ2,),其正态分布的密度曲线 (x)=,x∈R如图所示,则下列说法正确的是(　　) A.甲类水果的平均质量μ1=0.4 kg B.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右 C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D.乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2=1.99 解析:由图象可知甲图象关于直线x=0.4对称,乙图象关于直线x=0.8对称, 所以μ1=0.4,μ2=0.8,μ1<μ2,故A正确,C正确;因为甲图象比乙图象更“高瘦”,所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右,故B正确; 因为乙图象的最大值为1.99,即=1.99,所以σ2≠1.99,故D错误.故选ABC. 利用正态曲线的特点求参数μ,σ (1)正态曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称,由此特点结合图象求出μ. (2)正态曲线在x=μ处达到峰值,由此特点结合图象可求出σ. [针对训练] (多选题)已知三个正态分布密度函数 i(x)=(x∈R,i=1,2,3)的图象如图所示,则下列结论正确的是(　　) A.σ1=σ2 B.μ1>μ3 C.μ1=μ2 D.σ2<σ3 解析:正态曲线关于x=μ对称,且μ越大图象越靠近右边,所以μ1<μ2=μ3,B,C错误;又σ越小数据越集中,图象越瘦长,所以σ1=σ2<σ3,A,D正确.故选AD. 利用正态分布的性质求概率 [例2] (多选题)某大型汽车配件厂为提高对汽车配件生产的产品的质量,要求对现有某种型号产品进行抽检,由抽检结果可知,该型号汽车配件质量指标ξ服从正态分布 N(200,224),下列结论正确的是(附:≈14.97,若ξ～N(μ,σ2),则P(|ξ-μ|<σ)=0.682 6,P(|ξ-μ|<2σ)=0.954 4)(