3.4.3.1 空间中的角-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，北师大版）

4.3　用向量方法研究立体几何中的度量关系 4.3.1　空间中的角 学习目标 能用向量的方法得到两条直线的夹角、直线和平面的夹角、两个平面的夹角的向量表达式,解决立体几何中有关夹角的问题,提升逻辑推理、直观想象、数学运算素养. 问题1:若向量a,b分别为直线a,b的方向向量,则直线a与b的夹角θ与两个方向向量的夹角<a,b>有怎样的关系? 提示:相等或互补.当0≤<a,b>≤时,θ=<a,b>; 当<<a,b>≤π时,θ=π-<a,b>. 1.两条直线的夹角 若向量a,b分别为直线a,b的方向向量,则直线a与b的夹角θ∈[0,],且θ与两个方向向量的夹角<a,b>相等或互补. 也就是说:当0≤<a,b>≤时,θ=<a,b>;当<<a,b>≤π时,θ=π-<a,b>.故cos θ=|cos <a,b>|. 问题2:观察如图直线l的一个方向向量l与平面α的一个法向量n两者的夹角<l,n>与直线l和平面α的夹角θ的关系是什么? 提示:θ=-<l,n>(如题图①)或θ=<l,n>-(如题图②). 2.直线与平面的夹角 设向量l为直线l的一个方向向量,n是平面α的一个法向量,则直线l与平面α的夹角θ∈[0,],且θ=-<l,n>或θ=<l,n>-,故 sin θ=|cos<l,n>|. 问题3:两个平面的夹角与二面角的平面角有何区别?二面角的平面角与两个平面的法向量的夹角有何关系? 提示:平面α与平面β的夹角:平面α与平面β相交,形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角.二面角的范围是[0,π],而两个平面的夹角的范围是[0,].两平面的夹角是两法向量的夹角或其补角. 3.平面与平面的夹角 一般地,已知n1,n2分别为平面α,β的法向量,则二面角α-l-β的平面角与两法向量所成角<n1,n2>相等(如图①)或互补(如图②).两平面的夹角的范围是[0,],二面角的范围是[0,π]. 两条直线的夹角 [例1] 如图所示,直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2.M,N分别是A1B1,A1A的中点. (1)求证:C1M⊥NB; (2)求直线A1B与直线CB1的夹角的余弦值. (1)证明:因为直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°, 所以CA,CB,CC1两两相互垂直,故以点C为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系, 因为CA=CB=1,AA1=2,M,N分别是A1B1,A1A的中点,所以C(0,0,0),C1(0,0,2),A(1,0,0),B(0,1,0),A1(1,0,2),B1(0,1,2), M(,,2),N(1,0,1),所以=(,,0),=(-1,1,-1),所以· =(,,0)·(-1,1,-1)=0,即⊥,所以C1M⊥NB. (2)解:根据(1)得C(0,0,0),A1(1,0,2),B1(0,1,2),B(0,1,0),所以=(-1,1,-2),=(0,1,2),所以cos<,>===-, 所以直线A1B与直线CB1的夹角的余弦值为. 利用空间向量求两条异面直线的夹角,可以避免复杂的几何作图和论证过程,只需通过相应的向量运算即可,但应注意:用向量法求两条异面直线的夹角是通过两条直线的方向向量的夹角来求解的,而两条异面直线的夹角θ的取值范围是(0,],两向量的夹角α的取值范围是[0,π],所以cos θ=|cos α|. [针对训练] 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,若BC⊥AC,∠A=,AC=4, AA1=4,M为AA1的中点,P为BM的中点,Q在线段CA1上,A1Q=3QC.则异面直线PQ与AC夹角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 解析:以点C为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz, 则C(0,0,0),A(4,0,0),B(0,4,0),M(4,0,2),P(2,2,1), A1(4,0,4),Q(1,0,1),从而=(-1,-2,0),=(-4,0,0),设异面直线PQ与AC的夹角为θ,由题意可得, cos θ===.故选D. 直线与平面的夹角 [例2] (1)如图,在四面体OABC中,OA,OB,OC两两相互垂直,已知OA=OB=2,OC=1,则直线OC与平面ABC的夹角的正弦值为(　　) A. B. C. D. (2)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形AA1C1C是边长为4的正方形.再从条件①、条件②、条件③中选择两个能解决下面问题的条件作为已知,并作答: (ⅰ)求证:AB⊥平面AA1C1C; (ⅱ)求直线BC1与平面A1BC的夹角的正弦值. 条件①:BC=BA1=2;条件②:BC1⊥A1C;条件③:平面ABC⊥平面AA1C1C. (1)解析:分别以OA,OC,OB所在直线为x轴、y轴