3.3.2 空间向量运算的坐标表示及应用-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，北师大版）

3.2　空间向量运算的坐标表示及应用 学习目标 1.掌握空间向量运算的坐标表示,能够借助空间向量的坐标运算解决平行、垂直问题,提升数学运算及逻辑推理素养. 2.通过空间向量的坐标运算,能够掌握空间向量的模、夹角、两点间的距离公式,并能用它们解决简单几何体中的问题,提高数学运算素养. 问题:平面向量的坐标是如何定义的? 提示:令i,j分别为平面直角坐标系中x轴,y轴正方向上的单位向量. =+=xi+yj,a=xi+yj,有序实数对(x,y)叫作向量a的坐标,记作a=(x,y), 有序实数对(x,y)坐标平面内的向量. 1.标准正交基 在空间直角坐标系Oxyz中,分别沿x轴、y轴、z轴正方向作单位向量i,j,k,这三个互相垂直的单位向量就构成空间向量的一组基{i,j,k},这组基叫作标准正交基. 2.空间向量的坐标 根据空间向量基本定理,对于任意一个向量p,都存在唯一的三元有序实数组(x,y,z),使得p=xi+yj+zk.反之,任意给出一个三元有序实数组(x,y,z),也可找到唯一的一个向量p=xi+yj+zk与之对应.把三元有序实数组(x,y,z)叫作向量p在标准正交基{i,j,k}下的坐标,记作p=(x,y,z),单位向量i,j,k都叫作坐标向量,xi,yj,zk实际上分别是向量p在i,j,k方向上所作的投影向量,x,y,z分别是向量p在i,j,k方向上的投影数量. 3.空间向量运算的坐标表示 设向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),λ∈R, 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a+b (x1+x2,y1+y2,z1+z2) 减法 a-b (x1-x2,y1-y2,z1-z2) 数乘 λa (λx1,λy1,λz1) 数量积 a·b x1x2+y1y2+z1z2 4.空间向量的平行、垂直的坐标表示 如果设向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2). 平行(a∥b(b≠0)) a∥b⇔∃λ∈R, 使得 当b与三个坐标平面都不平行(即x2y2z2≠0)时 a∥b⇔== 垂直(a⊥b) a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2+z1z2=0 5.空间向量长度与夹角的坐标计算公式 (1)设向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则 模 |a|== 夹角 公式 cos<a,b>= =(a≠0,b≠0) (2)设A(a1,b1,c1),B(a2,b2,c2),则 |AB|=||= . 空间向量运算的坐标表示 [例1] (1)已知a=(2,-1,-2),b=(0,-1,4),求a+b,a-b,a·b,2a·(-b),(a+b)·(a-b); (2)已知O是坐标原点,且A,B,C三点的坐标分别是(2,-1,2),(4,5,-1),(-2,2,3),求适合下列条件的点P的坐标: ①=(-);②=(-). 解:(1)a+b=(2,-1,-2)+(0,-1,4)=(2+0,-1-1,-2+4)=(2,-2,2); a-b=(2,-1,-2)-(0,-1,4)=(2-0,-1+1,-2-4)=(2,0,-6); a·b=(2,-1,-2)·(0,-1,4)=2×0+(-1)×(-1)+(-2)×4=-7; 2a·(-b)=-2(a·b)=-2×(-7)=14; (a+b)·(a-b)=(2,-2,2)·(2,0,-6)=2×2-2×0+2×(-6)=-8. (2)由题意知,=(2,6,-3),=(-4,3,1). ①=(-)=(6,3,-4)=(3,,-2),则点P的坐标为(3,,-2). ②设P(x,y,z),则=(x-2,y+1,z-2). 因为=(-)=( 3,,-2), 所以解得x=5,y=,z=0, 则点P的坐标为(5,,0). 空间向量坐标运算的规律及注意点 (1)由点的坐标求向量坐标:空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定. (2)直接计算问题:首先将空间向量用坐标表示出来,然后代入公式计算. (3)由条件求向量或点的坐标:把向量坐标形式设出来,通过解方程(组),求出其坐标. [针对训练] (1)若向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1)满足条件(c-a)·2b=-2,则x=　　　　.  (2)在△ABC中,A(2,-5,3),=(4,1,2),=(3,-2,5). ①求顶点B,C的坐标; ②求·; ③若点P在AC上,且=,求点P的坐标. (1)解析:c-a=(0,0,1-x),2b=(2,4,2),由(c-a)·2b=-2得2(1-x)=-2,解得x=2. 答案:2 (2)解:①设B(x,y,z),C(x1,y1,z1),所以=(x-2,y+5,z-3),=(x1-x,y1-y,z1-z). 因为=(4,1,2