2.4.2 直线与圆锥曲线的综合问题-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，北师大版）

4.2　直线与圆锥曲线的综合问题 学习目标 1.进一步熟悉直线与圆锥曲线的位置关系,能利用直线与圆锥曲线的位置关系解决有关中点的问题,提升直观想象、数学运算素养. 2.掌握弦长公式,会求解与弦长有关的问题,提升逻辑推理、数学运算素养. 问题1:如果直线l与圆锥曲线Ω相交于不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),则AB的中点M(x0,y0)的坐标如何求出? 提示:法一　求得x1,x2,利用中点坐标公式,得x0=,再利用中点在直线上,根据直线方程求得y0. 法二　如果直线l与圆锥曲线Ω相交于不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),把直线方程和曲线方程组成一个方程组能得到一个关于x或者y的一元二次方程,利用根与系数的关系可得x1+x2或者y1+y2,再根据中点坐标公式求得x0或者y0,根据直线方程求得y0或x0. 1.直线与圆锥曲线交点的中点 直线l与圆锥曲线Ω相交于不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),则AB的中点M(x0,y0)的坐标x0=,可通过解直线方程和曲线方程组成的方程组求得x1,x2,也可以通过一元二次方程根与系数的关系得到. 思考:如果已知圆锥曲线以A(x1,y1),B(x2,y2)为端点的弦的中点的坐标为(x0,y0),可得到什么? 提示:(1)x1+x2=2x0,y1+y2=2y0; (2)若x1≠x2,可得kAB=. 问题2:如果直线l与圆锥曲线Ω相交于不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),探究线段AB长度(弦长)的计算方法. 提示:如果直线l的斜率存在,设其斜率为k,则直线l的方程为y=kx+m,将其代入圆锥曲线方程,得出关于x的一元二次方程,根据根与系数的关系,可得x1+x2,x1x2,由两点间的距离公式,得 |AB|===·.如果直线l的斜率不存在,则设直线方程为x=m,直接代入圆锥曲线方程求得交点坐标,再利用两点间距离公式求得|AB|. 2.直线与圆锥曲线相交的弦长 当直线的斜率存在时,斜率为k的直线l与椭圆相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两个不同的点,则弦长公式的常见形式有如下几种: (1)|AB|=|x1-x2|=; (2)|AB|=|y1-y2|=.(k≠0) 注意:(1)一定先有判别式大于零,才有两根之和、两根之积. (2)对于斜率不确定的问题,要分类讨论. (3)抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦AB,弦长 |AB|=x1+x2+p. 圆锥曲线弦的中点 [例1] 在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,直线l和椭圆C交于A,B两点,当直线l过椭圆C的焦点,且与x轴垂直时,|AB|=. (1)求椭圆C的方程; (2)是否存在与x轴不垂直的直线l,使弦AB的垂直平分线过椭圆C的右焦点?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由. 解:(1)由题意知点(c,±)在椭圆上, 故所以a2=9,b2=1,c2=8, 所以椭圆C的方程为+y2=1. (2)(点差法)设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为P(x0,y0),椭圆C的右焦点为F(2,0),直线l的斜率为k(k<0),直线FP的斜率为k′,则所以(x1-x2)(x1+x2)+9(y1-y2)(y1+y2)=0,所以k==-=-,所以k′=,所以kk′=-=-1,即x0=∉(-3,3),故不存在满足题意的直线. 如果斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆Ω:+=1(a>b>0)相交于不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点M(x0,y0),则由A,B坐标适合椭圆方程、代入作差后,得+=0,把上述关系代入即得+·kAB=0,即·kAB=-,其中为直线OM的斜率kOM,所以kOM·kAB=-(定值);如果双曲线Ω:-=1(a>0,b>0),则kOM·kAB=(定值);如果抛物线Ω:y2=2px(p>0),则kAB=.这些结论未必要记住,但要知道得出这些结论的方法——点差法. [针对训练] (1)过点P(1,4)作直线l交双曲线y2-=1于A,B两点,而P恰为弦AB的中点,则直线l的斜率为(　　) A.- B.-1 C. D.1 (2)已知直线x-2y-3=0过椭圆+=1(a>b>0)的右焦点F,且交椭圆于A,B两点.若线段AB的中点为P,直线OP的斜率为-1,则椭圆的方程为(　　) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 解析:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),因为P为弦AB的中点,则所以 将A,B的坐标代入双曲线y2-=1,得 两式相减得(-)-(-)=0, 整理得=·, 所以kAB==×=. 故选C. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),则 ①-②得+=0, 整理可得·=-,即×(-1)=-. 又直线x-2y-