2.4.1 直线与圆锥曲线的交点-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，北师大版）

§4　直线与圆锥曲线的位置关系 4.1　直线与圆锥曲线的交点 学习目标 1.了解直线与圆锥曲线的交点的求法,通过对直线与圆锥曲线的位置关系的判断,提升数学抽象、直观想象、数学运算素养. 2.通过直线与圆锥曲线位置关系的探究,掌握利用代数的方法和数形结合法判断直线与圆锥曲线的位置关系,提升数学运算、逻辑推理素养. 问题1:如何判定直线l:y=kx+b与椭圆C:+=1(a>b>0)两者交点的个数?若直线l与椭圆C两者相交,那么怎样求交点坐标? 提示:由于y=kx+b过点(0,b),而点(0,b)在椭圆C上,所以直线与椭圆有1个或2个交点.直线l的方程与椭圆C的方程联立,通过求方程组的解确定交点坐标. 1.直线与椭圆的位置关系 直线y=kx+m与椭圆+=1(a>b>0)的位置关系:联立消去y得一个关于x的一元二次方程. 位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 两解 Δ>0 相切 一解 Δ=0 相离 无解 Δ<0 问题2:类比直线与椭圆的位置关系可知直线与双曲线有几种位置关系?如何判断? 提示:有三种位置关系,分别为相交、相切、相离.联立方程组,通过消元后方程的判别式判断. 2.直线与双曲线的位置关系 把直线与双曲线的方程联立成方程组,通过消元后化为Ax2+Bx+C=0的形式,在A≠0的情况下考察方程的判别式. (1)Δ>0时,直线与双曲线有两个不同的公共点. (2)Δ=0时,直线与双曲线只有一个公共点. (3)Δ<0时,直线与双曲线没有公共点. 当A=0时,直线与双曲线的渐近线平行,直线与双曲线有一个公共点. 问题3:直线与抛物线只有一个公共点,那么直线与抛物线一定相切吗? 提示:不一定,当直线与抛物线的对称轴平行或重合时,直线与抛物线只有一个公共点,但两者相交. 3.直线与抛物线的位置关系 设直线l:y=kx+m,抛物线:y2=2px(p>0),将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2+2(km-p)x+m2=0. (1)若k≠0,当Δ>0时,直线与抛物线相交,有两个交点; 当Δ=0时,直线与抛物线相切,有一个交点; 当Δ<0时,直线与抛物线相离,没有公共点. (2)若k=0,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合. 直线与椭圆的交点问题 [例1] 已知点 M(,)在椭圆C:+=1(a>b>0)上,且椭圆的离心率为. (1)求椭圆C的方程; (2)若直线l:y=x+m与椭圆C交于A,B两点,求实数m的取值范围. 解:(1)因为点M(,)在椭圆C:+=1(a>b>0)上,且椭圆的离心率为, 所以解得a2=12,b2=4,所以椭圆C的方程为+=1. (2)因为直线l:y=x+m与椭圆C交于A,B两点,由得4x2+6mx+3m2-12=0, 所以Δ=(6m)2-4×4×(3m2-12)>0, 即m2-16<0,所以-4<m<4, 所以实数m的取值范围为{m|-4<m<4}. (1)将直线方程与椭圆的方程联立,消去一个未知数y(或x),得到关于x(或y)的一个一元二次方程. (2)利用一元二次方程根的判断式Δ,根据Δ>0,Δ<0还是Δ=0即可判断方程组解的个数,从而得出直线与椭圆的交点情况. [针对训练] (1)直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0,椭圆C:+=1,直线与椭圆的位置关系是(　　) A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定,与m的取值有关 (2)已知两定点M(0,-1),N(0,1),直线l:y=x+,在l上满足|PM|+|PN|=2的点P的个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.0或1或2 解析:(1)(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0⇒m(2x+y-7)=-x-y+4⇒⇒ 所以直线l恒过点(3,1),因为+=<1,所以点(3,1)在椭圆内部,因此直线与椭圆的位置关系是相交.故选A. (2)因为|PM|+|PN|=2,|MN|=2,所以点P在以M,N为焦点,2为长轴长的椭圆上,所以2a=2,a=,又c=1, 因此b==1, 所以椭圆方程为+x2=1, 由解得 所以点P只有1个.故选B. 直线与双曲线的交点问题 [例2] 已知双曲线x2-y2=4,直线l:y=k(x-1),直线l与双曲线有两个不同的公共点,确定满足条件的实数k的取值范围. 解:联立消去y, 得(1-k2)x2+2k2x-k2-4=0.(*) 当1-k2≠0,即k≠±1时, Δ=(2k2)2-4(1-k2)(-k2-4)=4(4-3k2). 由得-<k<且k≠±1, 此时方程(*)有两个不同的实数解,即直线l与双曲线有两个不同的公共点,所以满足条件的实数k的取值范围是(-,-1)∪(-1,1)∪(1,). (1)解决直线与双曲线的公共点问题,不仅要考虑判别式,更要注意