第一章 直线与圆 章末总结-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，北师大版）

章末总结 [footnoteRef:2] [2: 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) 1.点P(x0,y0)到与x轴平行的直线y=b(b≠0)的距离d=y0-b.(　×　) 2.直线的点斜式方程也可写成=k.(　×　) 3.若两条直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则这两条直线垂直.(　×　) 4.若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合,则这两条直线平行.(　√　) 5.若直线的倾斜角为α,则0°≤α≤180°.(　×　) 6.若两条直线平行,则它们的方向向量方向相同或相反.(　√　) 7.已知点A(1,0),B(1,2)与圆O:x2+y2=4,则点A与点B都在圆O外.(　×　) 8.方程x2+y2-4x-2y+5=0是圆的方程.(　×　) 9.圆(x+1)2+(y+2)2=4的圆心坐标是(-1,-2),半径是4.(　×　)] 题型一　直线的方程与直线的位置关系 [例1] 已知直线l过定点A(2,1). (1)若直线l与直线x+2y-5=0垂直,求直线l的方程; (2)若直线l在两坐标轴上的截距相等,求直线l的方程. 解:(1)因为直线x+2y-5=0的斜率为-,直线l与直线x+2y-5=0垂直, 所以直线l的斜率为2,又直线l经过点A(2,1), 所以直线l的方程为y-1=2(x-2),即2x-y-3=0. (2)当直线l过原点时,设直线l的方程为y=kx, 因为直线l过定点A(2,1), 所以1=2k,即k=, 所以直线l的方程为y=x,即x-2y=0; 当直线不过原点时,设直线l的方程为+=1,即x+y=a, 因为直线l过定点A(2,1),所以a=1+2=3, 所以直线l的方程为x+y=3,即x+y-3=0. 综上,直线l的方程为x-2y=0或x+y-3=0. 一般式方程下两直线的平行与垂直: 已知两直线的方程为l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同时为0),l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同时为0),则l1∥l2⇔A1B2-A2B1=0且C1B2—C2B1≠0,l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0. 题型二　直线的交点与距离问题 [例2] (多选题)已知直线l1:x-ay+2=0,l2:ax+y-2=0,a∈R,则以下结论正确的是(　　) A.不论a为何值,l1与l2都互相垂直 B.当a变化时,l1与l2分别经过定点A(-2,0)和B(0,2) C.不论a为何值,l1与l2都关于直线x+y=0对称 D.设O为坐标原点,如果l1与l2交于点M,则 |MO|的最大值是2 解析:由于1×a+(-a)×1=0,所以l1与l2互相垂直,故不论a为何值,l1与l2都互相垂直,故A正确; 直线l1:x-ay+2=0,当y=0时,x=-2,所以恒过点(-2,0),l2:ax+y-2=0,当x=0时,y=2,所以恒过点(0,2),故B正确; 设直线l1:x-ay+2=0上任意一点P(x,y),则点P关于直线x+y=0的对称点为P′(-y,-x),将点P′(-y,-x)代入直线l2,可得x+ay+2=0,与P(x,y)在直线l1:x-ay+2=0上矛盾,故C错误; 联立方程组解得故M点坐标为(,),则 |MO|==≤2,则|MO|的最大值是2,故D正确. 故选ABD. 三个距离公式应熟练掌握并能灵活应用 题型三　对称问题 [例3] 光线通过点A(2,3),在直线l:x+y+1=0上反射,反射光线经过点B(1,1),试求入射光线和反射光线所在直线的方程. 解:设点A(2,3)关于直线l的对称点为A′(x0,y0),则 解得A′(-4,-3). 由于反射光线经过点A′(-4,-3)和B(1,1), 所以反射光线所在直线的方程为 y-1=·(x-1), 即4x-5y+1=0. 解方程组 得反射点P(-,-). 所以入射光线所在直线的方程为 y-3=(x-2)·, 即5x-4y+2=0. 综上,入射光线和反射光线所在直线的方程分别为5x-4y+2=0,4x-5y+1=0. (1)点关于点的对称问题,是对称问题中最基础最重要的一类,其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解.熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键. (2)点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸,处理这类问题主要抓住两个方面:①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1;②两点的中点在已知直线上. (3)直线关于点的对称问题,可转化为直线上的点关于此点对称的问题,这里需要注意的是两对称直线是平行的.我们往往利用平行直线系去求解. 题型四　求圆的方程 [例4] (1)已知圆C经过点A(2,-3),B(-2,-5),且圆心在直线l:x-2y-3=0上,求圆C的方程. (2)求以圆C1:x2+y2-12x-2y-13