3.4.2 用向量方法研究立体几何中的位置关系-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习课时作业word（新教材，北师大版）

4.2　用向量方法研究立体几何中的位置关系 选题明细表 知识点、方法 题号 空间中的平行关系 4,9,13 空间中的垂直关系 3,5,6,7,10,11,12 空间中平行、垂直关系的 综合应用 1,2,8,14 基础巩固 1.向量a=(1,-2,-3),b=(2,-4,-6),c=(12,0,4),则下列结论正确的是(　B　) A.a∥b,a∥c B.a∥b,a⊥c C.a∥c,a⊥b D.以上都不对 解析:因为b=2a,所以a∥b, 因为a·c=1×12+(-2)×0+(-3)×4=0,所以a⊥c.故选B. 2.(多选题)已知e为直线l的方向向量,n1,n2分别为平面α,β的法向量(α,β不重合),并且直线l均不在平面α,β内,那么下列说法中正确的有(　ABC　) A.e⊥n1⇔l∥α B.n1⊥n2⇔α⊥β C.n1∥n2⇔α∥β D.e⊥n1⇔l⊥α 解析:已知直线l不在平面α内,则e⊥n1⇔l∥α,故A正确,D错误;由空间向量的位置关系得n1⊥n2⇔α⊥β,n1∥n2⇔α∥β,故B,C正确.故选ABC. 3.如图所示,在正方体 ABCDA1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中点,N是A1B1的中点,则直线NO,AM的位置关系是(　C　) A.平行 B.相交 C.异面垂直 D.异面不垂直 解析:以D为坐标原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略).设正方体的棱长为2, 则A(2,0,0),M(0,0,1),O(1,1,0),N(2,1,2).所以=(-1,0,-2), =(-2,0,1),所以·=0,所以直线NO,AM异面垂直.故选C. 4.如图,在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别为A1B,AC的中点,则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　B　) A.相交 B.平行 C.垂直 D.不能确定 解析:以C1为坐标原点,C1B1,C1D1,C1C所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A1(a,a,0),B(a,0,a),A(a,a,a),C(0,0,a),所以M(a,,),N(,,a). 所以=(-,0,),易知=(0,a,0)是平面BB1C1C的一个法向量,而·=-×0+0×a+×0=0,所以⊥,所以MN∥ 平面BB1C1C.故选B. 5.在正三棱柱ABCA1B1C1中,AA1=2AB=2,E为棱AB的中点,F为线段BB1上的一点,且A1C⊥EF,则等于(　C　) A.10 B.12 C.15 D.20 解析:以点E为坐标原点,EC,EB所在直线以及过点E且与AA1平行的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.则E(0,0,0), C(,0,0),A1(0,-,2),设F(0,,λ),由A1C⊥EF,知·= (,,-2)·(0,,λ)=0,解得λ=,故==15.故选C. 6.两平面α,β的法向量分别为u=(3,-1,z),v=(-2,-y,1),若α⊥β,则y+z的值是(　B　) A.-3 B.6 C.-6 D.-12 解析:因为α⊥β,所以u·v=0,即(3,-1,z)·(-2,-y,1)=0,所以3×(-2)+(-1)×(-y)+z×1=0,解得y+z=6.故选B. 7.在△ABC中,A(1,-2,-1),B(0,-3,1),C(2,-2,1).若向量n与平面ABC垂直,且|n|=,则n的坐标为　　　　　　　　.  解析:根据题意,得=(-1,-1,2),=(1,0,2). 设n=(x,y,z),因为n与平面ABC垂直, 所以即 可得 因为|n|=,所以=, 解得y=4或y=-4. 当y=4时,x=-2,z=1; 当y=-4时,x=2,z=-1. 所以n的坐标为(-2,4,1)或(2,-4,-1). 答案:(-2,4,1)或(2,-4,-1) 能力提升 8.(多选题)给出下列命题,其中是真命题的是(　AD　) A.若直线l的方向向量为a=(1,-1,2),直线m的方向向量为b=(2,1,-),则l与m垂直 B.若直线l的方向向量为a=(0,1,-1),平面α的法向量为n=(1,-1,-1),则l⊥α C.若平面α,β的法向量分别为n1=(0,1,3),n2=(1,0,2),则α⊥β D.若平面α经过三点A(1,0,-1),B(0,1,0),C(-1,2,0),向量n= (1,u,t)是平面α的法向量,则u+t=1 解析:对于A,a·b=1×2-1×1+2×(-)=0, 则a⊥b,所以直线l与m垂直,故A是真命题; 对于B,a·n=0,则a⊥n,所以l∥α或l⊂α,故B是假命题; 对于C,n1·n2=6,所以α⊥β不成立,故C是假命题; 对于D,易得=(-1