3.4.1 直线的方向向量与平面的法向量-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习课时作业word（新教材，北师大版）

§4　向量在立体几何中的应用 4.1　直线的方向向量与平面的法向量 选题明细表 知识点、方法 题号 直线的方向向量 1,2,11 平面的法向量 3,4,5,8 方向向量、法向量的应用 6,7,9,10,12,13 基础巩固 1.已知点P(0,1,0),Q(-2,0,1),则直线PQ的一个方向向量可以为(　C　) A.(-2,-1,-1) B.(1,-2,1) C.(4,2,-2) D.(4,-2,2) 解析:由题意得=(-2,-1,1),则直线PQ的方向向量为λ=(-2λ, -λ,λ)(λ≠0).故选C. 2.已知线段AB的两端点坐标分别为A(9,-3,4),B(9,2,1),则线段AB与坐标平面(　C　) A.xOy平行 B.zOx平行 C.yOz平行 D.yOz相交 解析:因为=(9,2,1)-(9,-3,4)=(0,5,-3),所以AB∥yOz平面. 故选C. 3.若=(1,2,3),=(-1,3,4),则下列向量中,能成为平面OAB的法向量的是(　C　) A.(1,7,5) 　 B.(1,-7,5) C.(-1,-7,5)　 D.(1,-7,-5) 解析:经检验,只有向量(-1,-7,5)分别与,垂直.故选C. 4.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则下列向量是平面ABC的法向量的是(　C　) A.(-1,1,1)　 B.(1,-1,1) C.(1,1,1) D.(1,1,-1) 解析:由题意得,=(-1,1,0),=(-1,0,1),设n=(x,y,z)为平面ABC的法向量, 则化简得所以x=y=z.故选C. 5.已知平面α内有一点M(1,-1,2),平面α的一个法向量为n= (6,-3,6),则下列各点在平面α内的是(　A　) A.P(2,3,3) B.P(-2,0,1) C.P(-4,4,0) D.P(3,-4,4) 解析:设平面α内一点P(x,y,z), 则=(x-1,y+1,z-2). 因为n=(6,-3,6)是平面α的一个法向量, 所以n⊥,即n·=6(x-1)-3(y+1)+6(z-2)=6x-3y+6z-21=0, 所以2x-y+2z=7.把各选项的坐标代入上式可知A选项符合题意. 故选A. 6.平面α内一条直线l的一个方向向量为a=(2,3,-1),平面α的法向量为n=(-1,1,m),则m=　　　.  解析:易知a·n=0,即-2+3-m=0,解得m=1. 答案:1 能力提升 7.(多选题)已知空间中三点A(0,1,0),B(2,2,0),C(-1,3,1),则下列说法正确的是(　BCD　) A.与是共线向量 B.与同向的单位向量是(,,0) C.平面ABC的一个法向量是(1,-2,5) D.与夹角的余弦值是- 解析:=(2,1,0),=(-1,2,1),可知≠λ,与不共线,A错误; =(2,1,0),所以||=,所以=(,,0),即与同向的单位向量是(,,0),B正确; 设平面ABC的法向量为n=(x,y,z), 则令x=1,解得y=-2,z=5, 所以n=(1,-2,5), 即平面ABC的一个法向量为(1,-2,5),C正确; =(-3,1,1),则cos<,>===-,故与夹角的余弦值为-,D正确.故选BCD. 8.已知空间中三点坐标分别为A(1,1,1),B(0,3,0),C(-2,-1,4),点P(-3,x,3)在平面ABC内,则实数x的值为(　A　) A.1 B.-2 C.0 D.-1 解析:=(1,-2,1),=(-2,-4,4),=(-3,x-3,3), 可设=y+z(y,z∈R), 则⇒故选A. 9.若直线a和b是异面直线,它们的方向向量分别是(1,1,1)和(2,-3,-2),则直线a和b的公垂线的一个方向向量是　　　　　　. 解析:设公垂线的方向向量是(x,y,z), 则有(x,y,z)·(1,1,1)=0, 且(x,y,z)·(2,-3,-2)=0, 即 令x=1,得y=4,z=-5. 则(1,4,-5)为直线a和b的公垂线的一个方向向量. 答案:(1,4,-5)(答案不唯一) 10.如图,放置于空间直角坐标系中的棱长为2的正四面体ABCD,H是底面中心,DH⊥平面ABC,写出: (1)直线BC的一个方向向量　　　　;  (2)直线OD的一个方向向量　　　　;  (3)平面BHD的一个法向量　　　　;  (4)△DBC的重心坐标　　　　.  解析:由题意可得OA=OB=1,OC=×2=,OH=OC=,DH== =. 由题图,可得O(0,0,0),A(-1,0,0),B(1,0,0),C(0,,0),H(0,,0), D(0,,). (1)直线BC的一个方向向量为=(-1, ,0). (2)直线OD的一个方向