3.3.2 空间向量运算的坐标表示及应用-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习课时作业word（新教材，北师大版）

3.2　空间向量运算的坐标表示及应用 选题明细表 知识点、方法 题号 空间向量的坐标运算 1,3 空间向量的平行、垂直 4,6,8,12 空间向量的模与夹角 2,5,7,9,10,11,13,14 基础巩固 1.已知M(5,-1,2),A(4,2,-1),O为坐标原点,若=,则点B的坐标应为(　B　) A.(-1,3,-3) B.(9,1,1) C.(1,-3,3) D.(-9,-1,-1) 解析:==-,=+=(9,1,1).故选B. 2.已知向量a=(0,-1,1),b=(4,1,0),|λa+b|=,且λ>0,则λ等于(　C　) A.5 B.4 C.3 D.2 解析:λa+b=λ(0,-1,1)+(4,1,0)=(4,1-λ,λ),由已知得|λa+b|= =,且λ>0,解得λ=3.故选C. 3.已知a=(1,-2,1),b=(-1,2,3),则2a·b等于(　A　) A.-4 B.-3 C.-2 D.-1 解析:由题意2a·b=2·(a·b)=2[1×(-1)+(-2)×2+1×3]=-4. 故选A. 4.已知向量a=(1,-1,2),b=(-2,2,-4),c=(1,1,0),则下列结论正确的是(　B　) A.a∥c,b⊥c B.a∥b,b⊥c C.a⊥b,a⊥c D.以上都不对 解析:显然b=-2a,则a∥b,b·c=0,则b⊥c,a·c=0,则a⊥c.故选B. 5.已知向量a=(2,-3,0),b=(k,0,3).若a,b成120°的角,则k= 　　　　.  解析:由cos<a,b>===-,得k=-. 答案:- 6.已知向量a=(2,1,-2),b=(-1,1,m).若向量a与向量b垂直,则m=　　　　.  解析:因为a=(2,1,-2),b=(-1,1,m)且向量a与向量b垂直,所以a·b=2×(-1)+1×1+(-2)×m=0,解得m=-. 答案:- 7.设空间两个单位向量=(m,n,0),=(0,s,t)与向量=(1,1,1)的夹角的余弦值都等于,则∠AOB=　　　　.  解析:=(m,n,0)为单位向量,且与=(1,1,1)夹角的余弦值为,所以m2+n2=1,=,解得m=n=,同理可得s=t=,所以 cos∠AOB= cos<,>==,又∠AOB∈[0,π],所以∠AOB=. 答案: 能力提升 8.(多选题)已知空间向量a=(-2,-1,1),b=(3,4,5),则下列结论正确的是(　BD　) A.(2a+b)∥a B.5|a|=|b| C.a⊥(5a+4b) D.a在b方向上的投影数量为- 解析:由题得2a+b=(-1,2,7),a=(-2,-1,1),而≠≠,故A不正确; 因为|a|=,|b|=5,所以5|a|=|b|,故B正确; 因为a·(5a+4b)=(-2,-1,1)·(2,11,25)=10≠0,故C不正确; 因为a在b方向上的投影数量为|a|cos<a,b>===-,故D正确.故选BD. 9.(多选题)已知空间中三点A(2,1,-1),B(1,0,2),C(0,3,-1),则(　ABC　) A.||= B.AB⊥AC C.cos∠ABC= D.A,B,C三点共线 解析:=(-1,-1,3),则||==,故A正确; =(-2,2,0),则·=2-2+0=0,所以AB⊥AC,故B正确; =(-1,3,-3),=(1,1,-3),则cos∠ABC===, 故C正确; 因为=(-1,-1,3),=(-2,2,0),≠,所以向量,不共线,则A,B,C三点不共线,故D错误.故选ABC. 10.已知向量a=(5,3,1),b=(-2,t,-),若a与b的夹角为钝角,则实数t的取值范围为　　　　　　　　　　.  解析:由已知得a·b=5×(-2)+3t+1×(-)=3t-, 因为a与b的夹角为钝角, 所以a·b<0,即3t-<0,所以t<. 若a与b的夹角为180°, 则存在λ,使a=λb(λ<0), 即(5,3,1)=λ(-2,t,-), 所以所以t=-, 故t的取值范围是(-∞,-)∪(-,). 答案:(-∞,-)∪(-,) 11.已知空间向量a,b是相互垂直的单位向量,若向量c满足|c|=5, c·a=c·b=2,则|c-ma+nb|的最小值是　　　　.  解析:分别以a,b为x轴,y轴的正方向建立空间直角坐标系(图略), 则a=(1,0,0),b=(0,1,0), 设c=(x,y,z),则x2+y2+z2=25, c·a=x=2,c·b=y=2,所以x=y=2, 所以z=±3, 所以c-ma+nb=(2-m,2+n,±3), 所以|c-ma+nb|=,所以当m=2, n=-2时,|c-ma+nb|取得最小值3. 答案:3 12.已知a=(x,-1