2.4.2 直线与圆锥曲线的综合问题-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习课时作业word（新教材，北师大版）

4.2　直线与圆锥曲线的综合问题 选题明细表 知识点、方法 题号 圆锥曲线中有关中点的问题 1,3,5,6,8,9 圆锥曲线中与弦长有关的问题 2,4,7,10,11,12 圆锥曲线中与定点定值有关的问题 13,14 基础巩固 1.已知椭圆C:+y2=1上两点A,B,若AB的中点为D,直线OD的斜率 等于1,则直线AB的斜率等于(　D　) A.-1 B.1 C.- D.- 解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0),则x1+x2=2x0,y1+y2=2y0, 则两式相减得+-=0, 整理得=-·=-·, 即kAB=-·=-.故选D. 2.过椭圆+=1的一个焦点,且垂直于x轴的直线被此椭圆截得的弦长为(　C　) A. B. C.3 D. 解析:椭圆焦点的横坐标为±=±1, 则直线与椭圆的交点的纵坐标满足+=1, 得y=±, 所以过椭圆+=1的一个焦点且垂直于x轴的直线被此椭圆截得的弦长为|-(-)|=3.故选C. 3.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F,过F作一条倾斜角为45°的直线与椭圆C交于A,B两点,若M(-3,2)为线段AB的中点,则椭圆C的离心率是(　A　) A. B. C. D. 解析:设点A(x1,y1),B(x2,y2),依题意,相减 得b2(x1+x2)(x1-x2)+a2(y1+y2)(y1-y2)=0,因直线AB的倾斜角为45°,即直线AB的斜率为=1. 又M(-3,2)为线段AB的中点,则x1+x2=-6,y1+y2=4,因此有4a2-6b2=0,即=, 所以椭圆C的离心率e===. 故选A. 4.设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,则|AB|=(　C　) A. B.6 C.12 D.7 解析:由题意,得F(,0).又因为k=tan 30°=,故直线AB的方程为y=(x-),与抛物线方程y2=3x联立,得16x2-168x+9=0,设 A(x1,y1), B(x2,y2),由抛物线定义得,|AB|=x1+x2+p=+=12.故选C. 5.已知椭圆C:+y2=1上存在关于直线l:y=x+m对称的点,则实数m的取值范围为(　C　) A.[-1,] B.(-,) C.(-,) D.(-,) 解析:设C上关于直线y=x+m对称的两点分别为M(x1,y1),N(x2,y2), 线段MN的中点为E(x0,y0),则+=1,+=1,两式相减, 得+(y1+y2)(y1-y2)=0, 由MN⊥l,得=-1, 又x1+x2=2x0,y1+y2=2y0, 所以x0-2y0=0,即x0=2y0,又y0=x0+m, 所以x0=-2m,y0=-m,即E(-2m,-m), 又点E在C的内部, 所以2m2+m2<1,所以-<m<. 故选C. 6.经过点P(-1,2)作直线l交椭圆+=1于M,N两点,且P为MN的中点,则直线l的方程为　　　　　　　.  解析:设M(x1,y1),N(x2,y2),则+=1,+=1, 两式相减可得(-)+(-)=0,即=-, 由中点P(-1,2),可得x1+x2=-2,y1+y2=4, 所以×=-,即kMN==, 故直线l的方程为3x-8y+19=0.因为P在椭圆内,故直线必与椭圆 相交,符合题意. 答案:3x-8y+19=0 7.已知椭圆的方程为+=1,左、右焦点分别为F1,F2,经过点F1的 一条直线与椭圆交于A,B两点.若直线AB的倾斜角为,则弦长|AB|为　　　 　. 解析:由椭圆的方程可知左焦点F1(-1,0),若直线AB的倾斜角为, 则直线的斜率k=1, 故直线AB的方程为y=x+1, 联立方程组消去x整理得7y2-6y-9=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2), 由根与系数的关系可知y1+y2=,y1·y2=-, 则由弦长公式得 |AB|=·=×=. 答案: 能力提升 8.(多选题)已知椭圆C:+=1内一点M(1,1),直线l与椭圆C交于A,B两点,且M为线段AB的中点,则下列结论正确的是(　BCD　) A.椭圆的焦点坐标为(2,0),(-2,0) B.椭圆C的长轴长为4 C.直线l的方程为2x+y-3=0 D.|AB|= 解析:由椭圆方程知,焦点在y轴上,a2=8,b2=4,c2=a2-b2=4,故焦点坐标为(0,±2),A错误; a2=8,即椭圆C的长轴长为2a=4,B正确; 由椭圆的对称性,直线的斜率不为0, 故可设直线l为x=k(y-1)+1,A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2,联立直线方程与椭圆方程并整理得(2k2+1)y2+4k(1-k)y+2k2-4k-6=0,M为椭圆内一点,则Δ>0,