2.4.1 直线与圆锥曲线的交点-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习课时作业word（新教材，北师大版）

§4　直线与圆锥曲线的位置关系 4.1　直线与圆锥曲线的交点 选题明细表 知识点、方法 题号 直线与椭圆的交点 1,5,8,12 直线与双曲线的交点 3,4,6,7,9,10 直线与抛物线的交点 2,11,13 基础巩固 1.直线y=x+1与椭圆+=1的位置关系是(　A　) A.相交 B.相切 C.相离 D.无法判断 解析:直线过点(0,1),且点(0,1)在椭圆内部,所以可推断直线与椭圆相交.故选A. 2.过点(0,1)与抛物线y2=8x只有一个公共点的直线有(　C　) A.1条 B.2条 C.3条 D.无数条 解析:由已知,可得 ①当直线过点(0,1)且与x轴平行时,方程为y=1,与抛物线y2=8x只有一个公共点; ②当直线斜率不存在时,方程为x=0,与抛物线y2=8x只有一个公共点; ③当直线斜率存在时,设直线方程为y=kx+1,由可得, k2x2+(2k-8)x+1=0,Δ=(2k-8)2-4k2=0,解得k=2,故直线方程为y=2x+1. 所以存在3条直线y=1,x=0,y=2x+1满足过点(0,1)与抛物线y2=8x 只有一个公共点.故选C. 3.已知双曲线C:-=1,若直线y=kx-1与双曲线C有且仅有1个 公共点,则实数k的值可能为(　D　) A. B. C. D. 解析:⇒(1-2k2)x2+4kx-12=0, 当1-2k2=0时,即k=±时,y=±x-1,分别与两条渐近线y=±x 平行,所以分别只有一个交点,所以k=±符合. 解得k=±,综上所述, k=±或k=±.故选D. 4.已知直线y=k(x-1)与双曲线-=1有且仅有一个公共点,则实数k的取值为(　D　) A.± B.± C.±1或± D.±1或± 解析:因为双曲线C的方程为-=1,所以渐近线方程为y=±x; 由消去y整理得(1-k2)x2+2k2x-k2-4=0. ①当1-k2=0即k=±1时,直线l与双曲线的渐近线平行,此时直线与双曲线相交于一点,符合题意; ②当1-k2≠0即k≠±1时,由Δ=4k4+4×(k2+4)(1-k2)=0,解得k=±,此时直线l与双曲线相切,有一个公共点,符合题意, 综上所述,符合题意的k的所有取值为±1或 ±.故选D. 5.直线y=ax-1(a∈R)与焦点在x轴上的椭圆+=1总有公共点, 则实数m的取值范围是　　　　.  解析:根据题意, 可得 y=ax-1 过点 (0,-1), 要使直线y=ax-1与椭圆 +=1 总有公共点,只需使点 (0,-1) 在椭圆内部或椭圆上, 则有m≥1, 又由椭圆 +=1的焦点在x轴上,则有5>m, 综合可得 1≤m<5. 答案:[1,5) 6.设P是双曲线-=1右支上任一点,过点P分别作两条渐近线的 垂线,垂足分别为E,F,则|PE|·|PF|的值为　　　　.  解析:渐近线方程为2x±y=0,设P(x0,y0),则-=1,所以4-=16. 由点到直线的距离公式得|PE|=, |PF|=, 所以|PE|·|PF|==. 答案: 7.平面上一台机器人在运行中始终保持到点P(-2,0)的距离比到 点Q(2,0)的距离大2,若机器人接触不到过点M(,3)且斜率为k的直线,则k的取值范围是　　　　.  解析:由题意可得机器人的运动轨迹是双曲线的右支,由a=1,c=2 可得b2=3, 所以机器人的运动轨迹方程为x2-=1(x≥1). 直线方程为y-3=k(x-),即y=k(x-)+3, 联立方程组 得(3-k2)x2+(2k2-6k)x+6k-3k2-12=0, 当3-k2=0时,若k=,则此时直线y=k(x-)+3=x恰好是双曲线的一条渐近线,符合题意; 若k=-,显然不符合题意. 当3-k2≠0时,由Δ<0得-4(3-k2)·(6k-3k2-12)<0, 解得<k<2. 综上可得,k的取值范围是[,2). 答案:[,2) 能力提升 8.已知椭圆:x2+=1,直线l:2x+y+2=0,点P是椭圆上一点,则使得点P到直线l的距离为的点P的个数为(　C　) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:设直线l′:2x+y+n=0与椭圆相切,联立得 整理得8x2+4nx+n2-4=0,则该方程有且只有一个解, 由Δ=16n2-4×8(n2-4)=0,得n=2或n=-2,所以l′的方程为2x+y+2=0或2x+y-2=0, 易知直线2x+y+2=0与直线l的距离为<, 直线2x+y-2=0与直线l的距离为>, 所以在直线l的右侧有两个符合条件的P点, 在直线l的左侧不存在符合条件的P点,故符合条件的点P有2个.故选C. 9.已知F为双曲线C:-=1的左焦点,P为C的右支上一点,则直线PF的斜率的取值范围为(