2.4.1 直线与圆锥曲线的交点-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习教学课件ppt（新教材，北师大版）

§4　直线与圆锥曲线的位置关系 4.1　直线与圆锥曲线的交点 学习目标 1.了解直线与圆锥曲线的交点的求法,通过对直线与圆锥曲线的位置关系的判断,提升数学抽象、直观想象、数学运算素养. 2.通过直线与圆锥曲线位置关系的探究,掌握利用代数的方法和数形结合法判断直线与圆锥曲线的位置关系,提升数学运算、逻辑推理素养. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 1 知识梳理 自主探究 提示:由于y=kx+b过点(0,b),而点(0,b)在椭圆C上,所以直线与椭圆有1个或2个交点.直线l的方程与椭圆C的方程联立,通过求方程组的解确定交点坐标. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 解 Δ 0 相切 解 Δ 0 相离 解 Δ 0 1.直线与椭圆的位置关系 两 > 一 = 无 < 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 问题2:类比直线与椭圆的位置关系可知直线与双曲线有几种位置关系?如何判断? 提示:有三种位置关系,分别为相交、相切、相离.联立 方程组,通过消元后方程的判别式判断. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 2.直线与双曲线的位置关系 把直线与双曲线的方程联立成方程组,通过消元后化为Ax2+Bx+C=0的形式,在A≠0的情况下考察方程的判别式. (1)Δ>0时,直线与双曲线有 不同的公共点. (2)Δ=0时,直线与双曲线只有 公共点. (3)Δ<0时,直线与双曲线 公共点. 当A=0时,直线与双曲线的渐近线平行,直线与双曲线有 .公共点. 两个 一个 没有 一个 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 7 问题3:直线与抛物线只有一个公共点,那么直线与抛物线一定相切吗? 提示:不一定,当直线与抛物线的对称轴平行或重合时, 直线与抛物线只有一个公共点,但两者相交. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 3.直线与抛物线的位置关系 设直线l:y=kx+m,抛物线:y2=2px(p>0),将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2+2(km-p)x+m2=0. (1)若k≠0,当 时,直线与抛物线相交,有两个交点; 当 时,直线与抛物线相切,有一个交点; 当 时,直线与抛物线相离,没有公共点. (2)若k=0,直线与抛物线有 交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合. Δ>0 Δ=0 Δ<0 一个 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 2 师生互动 合作探究 直线与椭圆的交点问题 (1)求椭圆C的方程; 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 (2)若直线l:y=x+m与椭圆C交于A,B两点,求实数m的取值范围. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 13 (1)将直线方程与椭圆的方程联立,消去一个未知数y (或x),得到关于x(或y)的一个一元二次方程. (2)利用一元二次方程根的判断式Δ,根据Δ>0,Δ<0还是Δ=0即可判断方程组解的个数,从而得出直线与椭圆的 交点情况. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 √ 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 √ 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 直线与双曲线的交点问题 [例2] 已知双曲线x2-y2=4,直线l:y=k(x-1),直线l与 双曲线有两个不同的公共点,确定满足条件的实数k的 取值范围. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 (1)解决直线与双曲线的公共点问题,不仅要考虑判别式,更要注意二次项系数为0时,直线与渐近线平行的特殊 情况. (2)双曲线与直线只有一个公共点的题目,应分两种情况讨论:直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行. (3)注意对直线的斜率是否存在进行讨论. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 √ [针对训练] (1)若直线y=kx与双曲线x2-y2=1的两支各有一个交点,则实数k的取值范围是(　　) A.[-1,1] B.[-1,0)∪(0,1] C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-1,1) 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 解析:(1)由双曲线x2-y2=1,得渐近线方程为 y=±x, 由题意得,直线y=kx应该在两条渐近线之间,如图得, k∈(-1,1).故选D. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 √ 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 直线与抛物线的交点问题 [例3] 已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点F在直线x