1.1.2 空间向量的数量积运算-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习课时作业word（新教材，人教A版）

1.1.2　空间向量的数量积运算 选题明细表 知识点、方法 题号 数量积的概念和运算 1,2,6,9 求异面直线所成的角 11,14 求距离 3,4 判断或证明垂直 5,7 综合 8,10,12,13 开放创新题 15,16 基础巩固 1.三棱锥ABCD中,AB=AC=AD=2,∠BAD=90°,∠BAC=60°,则·等于(　A　) A.-2 B.2 C.-2 D.2 解析:因为=-,所以·=·(-)=·-· =0-2×2×cos 60°=-2. 2.已知空间向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=2,|b|=3,|c|=4,则a与b的夹角为(　D　) A.30° B.45° C.60° D.以上都不对 解析:由a+b+c=0,得a+b=-c, 两边平方,得a2+2a·b+b2=c2, 因为=2,=3,=4, 所以4+2×2×3cos<a,b>+9=16, 解得cos<a,b>=.故选D. 3.四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是边长为1的菱形,侧棱长为2,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°,则线段A1C的长度是(　D　) A. B. C.3 D. 解析:如图, =++=---, 所以=+++2||||cos 60°+ 2||||cos 60°+2||||cos 60°=4+1+1+2×2×1×+2× 2×1×+2×1×1×=11, 所以||=. 4.如图,在平行四边形ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=135°,将△ABC沿对角线AC折起,使AB⊥CD,则点B,D间的距离为(　D　) A.2 B. C.-1 D.+1 解析:由题图可知,=+-, 向量与向量的夹角为45°,向量与向量的夹角为135°, ==+++2·-2·-2· =12+12+12+2×1×1×cos 45°-2×1×1×cos 135°-0=3+2= , 所以||=+1. 5.(多选题)在《九章算术》中,四个面都是直角三角形的三棱锥被称为鳖臑.在鳖臑PABC中,PA⊥底面ABC,则(　BCD　) A.·=0可能成立 B.·=0可能成立 C.·=0一定成立 D.·=0可能成立 解析:因为PA⊥底面ABC,所以·=0一定成立,C正确; 若∠BAC=90°,则△PBC不是直角三角形,A错误; 若∠ACB=90°,则∠PCB=90°,B正确; 若∠ABC=90°,则∠PBC=90°,D正确. 6.已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD是边长为1的正方形, AA1=2,∠A1AB=∠A1AD=30°,则·等于　　　　.  解析:因为=+=+,=+, 所以·=(+)·(+)=·+·+· +=2×1×+2×1×+0+12=2+1. 答案:2+1 7.已知空间向量a,b,|a|=3,|b|=5,m=a+b,n=a+λb,<a,b>=135°,若m⊥n,则λ的值为　　　　.  解析:由题意得a·b=|a||b|cos<a,b>=3×5×(-)=-15, 由m⊥n,得(a+b)·(a+λb)=0,即|a|2+λa·b+a·b+λ|b|2=18- 15(λ+1)+25λ=0, 解得λ=-. 答案:- 8.如图,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD是边长为1的正方形,AA1=2,∠A1AB=∠A1AD=60°,设=a,=b,=c. (1)用a,b,c表示,并求||; (2)求·. 解:(1)因为=a,=b,=c, 所以=++=a+b+c, 因为底面ABCD是边长为1的正方形,AA1=2,∠A1AB=∠A1AD=60°, 所以||= =. ==. (2)·=·(-)=·-·=2×1×-2×1×=0. 能力提升 9.我国古代数学名著《九章算术》商功中记载“斜解立方,得两堑堵”,堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱.在堑堵ABCA1B1C1中,AB=AC= AA1=2,P为B1C1的中点,则·等于(　A　) A.6 B.-6 C.2 D.-2 解析:根据堑堵的几何性质可知,AB⊥AC,AA1⊥AB,AA1⊥AC. 因为=+, =+=+(-), 所以·=(+)·=·+- ·++·-·=2+4=6. 10.已知正三棱锥PABC的底面ABC的边长为2,M是空间中任意一点,则·(+)的最小值为(　A　) A.- B.-1 C.- D.- 解析:设BC的中点为O,连接MO,设AO的中点为H,则HA==, ·(+)=·(2)=2(+)·(+)=2(+ )·(-)=2(-)=2(-), 当M与H重合时,取最小值0.此时·(+)有最小值-. 11.(多选题)在正方体ABCD -A1B1C1D1中,若M是线段A1C1上的动点,则下列结论正确的有(　ABC　) A.异面直线AM,BD所成的角为 B.异面直线CM,AB所成的