第一章 空间向量与立体几何 章末总结-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教A版）

章末总结 判断对错.(正确的打“√”,错误的打“×”) 1.空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底.(　√　) 2.设{a,b,c}构成空间的一个基底,对空间任一向量p,总存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc.(　√　) 3.设a,b,c是任意的非零向量,且它们相互不共线,则a2b=b2a. (　×　) 4.直线l的一个方向向量为a=(1,-1,2),直线m的一个方向向量为b=(2,1,-),则l与m垂直.(　√　) 5.平面α,β的一个法向量分别为n1=(0,1,3),n2=(1,0,2),则α∥β. (　×　) 6.若直线l的一个方向向量为e=(1,0,3),平面α的一个法向量为n=(-2,0,),则直线l∥α.(　×　) 7.已知a=(3,-2,-3),b=(-1,x-1,1),且a与b的夹角为钝角,则x的取值范围是(-2,+∞).(　×　) 8.已知直线l1的一个方向向量为s1=(1,0,1),直线l2的一个方向向量为s2=(-1,2,-2),则l1和l2夹角的余弦值为-.(　×　) 题型一　空间角 [例1] 如图,在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面边长为2,高为4. (1)求A1B与AD1所成角的余弦值; (2)求CC1与平面ACD1所成角的正弦值. 解:(1)如图,连接BC1,A1C1, 因为AB∥D1C1,且AB=D1C1, 所以四边形ABC1D1为平行四边形, 所以AD1∥BC1, 所以∠A1BC1(或其补角)即A1B与AD1所成的角, 因为正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面边长为2,高为4, 所以A1B=2,BC1=2,A1C1=2, 所以cos∠A1BC1===, 故A1B与AD1所成角的余弦值为. (2)如图建立空间直角坐标系, 所以A(2,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,4),C1(0,2,4),=(-2,2,0), =(-2,0,4), 设平面ACD1的法向量为n=(x,y,z), 则取x=2, 得到n=(2,2,1),=(0,0,4), cos<n,>==, 因为CC1与法向量所成的角和CC1与平面所成的角互余, 所以直线CC1与平面ACD1所成角的正弦值为. 用向量方法求空间角 (1)两条异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角来求,但二者不完全相同,两异面直线所成角的取值范围是(0,],而两向量所成角的取值范围是[0,π],所以当两方向向量的夹角是钝角时,应取其补角作为两异面直线所成的角. (2)利用空间向量求直线与平面所成的角,可以有两种方法: ①通过平面的法向量来求,即求出直线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角,取其余角就是直线和平面所成的角; ②分别求出直线和它在平面内的射影的方向向量,再转化为求这两个方向向量的夹角(或其补角). 注意:直线与平面所成角的取值范围是[0,]. (3)利用空间向量求二面角,也可以有两种方法: ①分别在二面角αlβ的面α,β内,沿α,β延伸的方向作向量n1⊥l,n2⊥l,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小; ②通过法向量求解.设m1⊥α,m2⊥β,则两向量的夹角与该二面角相等或互补. 注意:二面角的取值范围是[0,π]. [跟踪训练] 如图所示,在三棱柱ABCA1B1C1中,AB=BC,平面AA1C1C⊥平面ABC,点D为AC的中点. (1)求证:平面AA1C1C⊥平面BDB1; (2)若侧面AA1C1C为菱形,∠A1AC=60°,AB⊥BC,求二面角DBB1C的余弦值. (1)证明:平面AA1C1C⊥平面ABC,平面AA1C1C∩平面ABC=AC, 又由BD⊥AC,BD⊂平面ABC, 所以BD⊥平面AA1C1C. 又BD⊂平面BDB1, 则平面AA1C1C⊥平面BDB1. (2)解:连接A1D,由题意可知平面AA1C1C⊥平面ABC,平面AA1C1C∩平面ABC=AC,A1D⊥AC,A1D⊂平面AA1C1C,则有A1D⊥平面ABC, 如图,以D为坐标原点,分别以DB,DC,DA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系, 不妨设AC=2, 则D(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),A(0,-1,0),A1(0,0,), 由=,得B1(1,1,), 设平面BDB1的法向量为m=(x,y,z), 而=(1,0,0),=(1,1,),则有取z=-1,故m=(0,,-1), 设平面BB1C的法向量为n=(a,b,c), 又由=(1,-1,0),=(1,0,), 则有取c=-1, 故n=(,,-1), cos<n,m>==, 二面角DBB1C为锐二面角, 故二面角DBB1C的余弦值为. 题型二　求距离 [例2] 如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为矩形,PD⊥底面A