2.1.2 两条直线平行和垂直的判定-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教A版）

2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 学习目标 　能根据斜率判定两条直线平行或垂直,培养直观想象和数学运算的核心素养. 1.两条直线平行与斜率之间的关系 (1)对于斜率分别为k1,k2的两条直线l1,l2,有l1∥l2⇔k1=k2. (2)当α1=α2=90°时,直线的斜率不存在,此时l1∥l2. [思考1] 判断两条不重合的直线是否平行的步骤是什么? 提示:在判断两条不重合的直线是否平行时,首先判断两条直线的斜率是否存在,若存在且相等,则两条直线平行;若斜率都不存在,则两条直线也平行. [做一做1] 过点A(m,3),B(-1,m)两点的直线与直线l平行,直线l的倾斜角为45°,则m=　 .  解析:因为直线l的倾斜角为45°,所以直线l的斜率k=tan 45°=1,过A(m,3),B(-1,m)两点的直线的斜率kAB=(m≠-1),由直线AB与直线l平行,所以=1,解得m=1. 答案:1 2.两条直线垂直与斜率之间的关系 (1)如果两条直线都有斜率,且它们互相垂直,那么它们的斜率之积等于-1;反之,如果两条直线的斜率之积等于-1,那么它们互相垂直.即l1⊥l2⇔k1k2=-1. (2)当直线l1或l2的倾斜角为90°时,若l1⊥l2,则另一条直线的倾斜角为0°;反之亦然. [思考2] 两条直线(平行、垂直、相交)的位置关系与倾斜角有什么关系? 提示:(1)平行⇔倾斜角相同. (2)相交⇔倾斜角不同. (3)垂直⇔倾斜角相差90°. [做一做2] 已知直线l1的斜率为3,直线l2经过点A(1,2),B(2,a),若直线l1⊥l2,则a=　　　　.  解析:因为直线l1的斜率为3,l1⊥l2, 所以=-,解得a=. 答案: 　两条直线平行关系的判定及应用 角度1　两条直线平行关系的判定 [例1] 根据下列给定的条件,判断直线l1与直线l2是否平行. (1)l1经过点A(2,3),B(-4,0),l2经过点M(-3,1),N(-2,2); (2)l1的斜率为-,l2经过点C(4,2),D(2,3); (3)l1平行于y轴,l2经过点P(0,-2),Q(0,5); (4)l1经过点E(0,1),F(-2,-1),l2经过点G(3,4),H(2,3). 解:(1)kAB==,kMN==1, 因为kAB≠kMN,所以l1与l2不平行. (2)l1的斜率k1=-,l2的斜率k2==-,因为k1=k2,所以l1与l2平行或重合. (3)由题意知,l1的斜率不存在,且l1不与y轴重合,l2的斜率也不存在,且l2恰好与y轴重合,所以l1∥l2. (4)由题意知,kEF==1,kGH==1,因为kEF=kGH,所以l1与l2平行或 重合. 需进一步研究E,F,G,H四点是否共线, 因为kFG==1,所以E,F,G,H四点共线.所以l1与l2重合. 在判断两直线的平行关系时,应先看两直线的斜率是否存在,然后再进行判断,同时注意不要漏掉两直线重合的情况. [针对训练] 根据下列给定的条件,判断直线l1与直线l2是否平行. (1)l1的倾斜角为60°,l2经过点M(3,2),N(-2,-3); (2)经过两点A(2,3),B(-1,0)的直线l1,与经过点P(1,0)且斜率为1的直线l2. 解:(1)由题意,知直线l1的斜率k1=tan 60°=,直线l2的斜率k2==,所以k1=k2,所以l1∥l2或l1与l2重合. (2)由题意和斜率公式可得l1的斜率k1==1,l2的斜率k2=1,k1=k2,又直线l1,l2不重合,所以两直线平行. 角度2　由两条直线的平行关系求参数 [例2] 已知点P(-2,m),Q(m,4),M(m+2,3),N(1,1),若PQ∥MN,求m 的值. 解:当m=-2时,直线PQ的斜率不存在,而直线MN的斜率存在,MN与PQ不平行,不符合题意; 当m=-1时,直线MN的斜率不存在,而直线PQ的斜率存在,MN与PQ不平行,不符合题意; 当m≠-2,且m≠-1时,kPQ==, kMN==. 因为PQ∥MN,所以kPQ=kMN, 即=,解得m=0或m=1. 经检验,当m=0或m=1时,直线MN,PQ都不重合.综上,m的值为0或1. 由两条直线平行求参数的值,一般是利用斜率的坐标公式表示出斜率,令斜率相等求解,但在解题过程中要注意对参数的讨论,不要遗漏直线与x轴垂直的特殊情况.同时,求得值后要注意检验,排除重合的 情况. [针对训练] 若过点P(3,2m)和点Q(-m,2)的直线与方向向量为a=(-5,5)的直线平行,则实数m的值是(　　) A. B.- C.2 D.-2 解析:法一　由题意得=(-m-3,2-2m)与a=(-5,5)共线,所以5(-m-3)-(-5)·(2-2m)=0,解得m=-. 故选