2.1.2 两条直线平行和垂直的判定课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 知识回顾 直线 倾斜角 斜率 点坐标 方向向量 代数问题 几何问题 数形结合 化归转化 知识回顾 问题1：我们知道，在平面几何中的两条直线有两种位置关系：相交、平行，用两条直线不相交来定义平行,你还记得平行线的性质定理和判定定理吗？ 同位角相等 两直线平行 内错角相等 两直线平行 同旁内角互补 两直线平行 探究新知 问题2：当两条直线与平行时，它们的斜率满足什么关系？ 若没有特别说明，说“两条直线”是指两条不重合的直线. 探究新知 问题2：当两条直线与平行时，它们的斜率满足什么关系？ 若，则 形 数 探究新知 问题3：当两条直线与斜率相等时，这两条直线平行吗？ 形 数 若则 探究新知 形 数 探究新知 问题3：若直线斜率为,它的一个方向向量为当两条直线与平行时，它们的方向向量满足什么关系？它们的斜率又满足什么关系呢？ 设两条直线的斜率分别为，则直线的方向向量分别是 ，于是 ⇔1×k11×k2=0 ⇔k1=k2. 探究新知 于是，对于斜率分别为k1，k2的两条直线l1，l2，有 ⇔ 形 数 问题4：当两条直线与的斜率不存在时，两直线平行吗？ 显然，当时，直线的斜率不存在，此时． 探究新知 问题5：若直线，它们的斜率满足什么关系？ 如图证明三点共线你有什么方法？ 三点共线 用斜率证明三点共线时，常常用到这个结论。 知识应用 例2 已知A(2，3)，B(4，0)，P(3，1)，Q(1，2)，试判断直线AB与PQ的位置关系，并证明你的结论. 分析：1.画出两条直线； 2.猜想两条直线的位置关系； 3.判断两条直线斜率是否存在； 4.判断斜率是否相等. 知识应用 例2 已知A(2，3)，B(4，0)，P(3，1)，Q(1，2)，试判断直线AB与PQ的位置关系，并证明你的结论. 知识应用 例3 已知四边形ABCD 的四个顶点分别为A(0，0)，B(2，1)，C(4，2)，D(2，3),试判断四边形ABCD 的形状，并给出证明. 分析：1.画出四边形ABCD ； 2. 猜想四边形形状； 3.证明平行四边形. 例3 已知四边形ABCD 的四个顶点分别为A(0，0)，B(2，1)，C(4，2)，D(2，3),试判断四边形ABCD 的形状，并给出证明. 如图，由已知可得 AB边所在直线的斜率， CD边所在直线的斜率 BC边所在直线的斜率 DA边所在直线的斜率· 因为=， =， 所以ABCD，BCDA. 因此四边形ABCD是平行四边形. 知识应用 探究新知 问题6：平面中两条直线不平行时肯定相交，在斜率存在的前提下，当两条直线的斜率不相等时，两条直线相交，反之，两条直线相交，这两条直线的斜率不相等。在相交的位置关系中，垂直是最特殊的情形，当直线与垂直时，它们的斜率除了不相等外，是否还有特殊的数量关系？类比前面的研究进行讨论. ⇔ 探究新知 设两条直线的斜率分别为，则直线的方向向量分别是 ，于是当两条直线与垂直时，它们的斜率满足什么关系？ l1⊥l2 ⇔a⊥b ⇔a·b=0 ⇔1×1+k1k2=0 ⇔k1k2=–1. l1⊥l2 ⇔ k1k2=–1. 还有什么方法？ 探究新知 l1⊥l2 ⇔ α2= α1+90o， k2=tanα2=tan(α1+90o) k1=tanα1. l1⊥l2 ⇔ k1k2= –1. = = = ， 探究新知 问题7：当直线倾斜角为时，若l1⊥l2，则直线l2的倾斜角为？ 当直线l1或l2的倾斜角为时，若l1l2，则另一条直线的倾斜角为;反之亦然. 探究新知 由上我们得到，如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于1;反之，如果两条直线的斜率之积等于1，那么它们互相垂直. 即l1l2=1 知识应用 例4 已知，试判断直线与的位置关系. 解:直线 AB的斜率 直线PQ的斜率 因为=， 所以直线ABPQ. 知识应用 例5 已知A(5， 1)，B(1，1)，C(2，3)三点，试判断△ABC的形状. 分析:如图，猜想 AB⊥BC，ΔABC是直角三角形. 解:边AB所在直线的斜率=， 边BC所在直线的斜率=2. 由=1， 得ABBC，即ABC=90°. 所以△ABC是直角三角形. 当堂检测 1.判断下列各对直线是否平行或垂直: (1)经过A(2，3)，B(1，0)两点的直线，与经过点P(1，0)且斜率为1的直线; (2)经过C(3，1)，D(2,0)两点的直线，与经过点M(1，4)且斜率为5的直线. 解析：(1)直线的斜率，直线的斜率， ，. (2)直线的斜率，直线的