2.4.2 圆的一般方程-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习教学课件ppt（新教材，人教A版）

2.4.2　圆的一般方程 1.理解圆的一般方程及其特点,培养数学抽象的核心 素养. 2.掌握圆的一般方程和标准方程的互化,提升数学运算的核心素养. 3.会求圆的一般方程以及简单的轨迹方程,强化数学运算与逻辑推理的核心素养. 学习目标 1 知识梳理 自主探究 圆的一般方程 (1)当D2+E2-4F>0时,方程(*)表示以 为圆心, 为半径的圆; (3)当D2+E2-4F<0时,方程(*)没有 ,它不表示任何图形. 因此,当D2+E2-4F>0时,方程(*)表示一个圆.我们把方程(*)叫做圆的一般方程. 实数解 [思考1] 圆的一般方程的形式有什么特点? 提示:①x2,y2的系数都为1; ②没有xy项; ③D2+E2-4F>0. [思考2] 圆的标准方程与一般方程之间的关系是什么? 提示:将圆的一般方程配方得到圆的标准方程,将圆的标准方程展开得到圆的一般方程. [做一做] 圆C的方程为x2+y2-4x+6y+4=0,则圆心C的坐标为　　　　,半径为　　　　.  (2,-3) 解析:由圆C的方程为x2+y2-4x+6y+4=0, 整理得(x-2)2+(y+3)2=9, 故该圆的圆心为(2,-3),半径为3. 3 2 师生互动 合作探究 圆的一般方程的形式特点 [例1] 判断下列方程是否表示圆,若是,写出圆心和半径. (1)x2+y2=0; 解:(1)不是圆,因为x2+y2=0表示点(0,0),而不是圆. [例1] 判断下列方程是否表示圆,若是,写出圆心和半径. (2)x2+y2-2x+4y-6=0; (3)x2+y2-2x-2y-3=0; [例1] 判断下列方程是否表示圆,若是,写出圆心和半径. (4)x2+y2-4mx+2my+20m-20=0. 判断一个二元二次方程是否表示圆的步骤 先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征,即①x2与y2的系数相等;②不含xy项.当它具有圆的一般方程的特征时,再看它能否表示圆,此时有两种途径,一是看D2+E2-4F是否大于零,二是直接配方变形,看右端是否为大于零的常数即可. D (2)若圆的方程为x2+y2+kx+2y+k2=0,且圆的面积为π,则圆心坐标为　　　　.  (0,-1) 求圆的一般方程 [例2] 已知圆M经过三点A(2,1),B(4,3),C(-2,3). (1)求圆M的一般方程; [例2] 已知圆M经过三点A(2,1),B(4,3),C(-2,3). (2)若点(2,m)在圆M上,求实数m的值. 解:(2)由(1)知圆M的方程为x2+y2-2x-8y+7=0,因为点(2,m)在圆M上,所以22+m2-2×2-8m+7=0,即m2-8m+7=0,解得m=1或7. 用待定系数法求圆的方程时一般方程和标准方程的选择 (1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题,一般采用圆的标准方程,再用待定系数法求出a,b,r. (2)如果已知条件和圆心或半径都无直接关系,一般采用圆的一般方程,再用待定系数法求出参数D,E,F. 求动点的轨迹方程 角度1　代入法求轨迹方程 [例3] 如图,已知线段AB的中点C的坐标是(4,3),端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动,求线段AB的端点B的轨迹方程. (1)求动点的轨迹方程的一般步骤为:建系,设点,列式,化简,证明.建系时可根据题目中的条件,建立适当的直角坐标系,简化运算是解题的关键. (2)求解时,重视从不同视角诠释求动点轨迹方程的步骤,注意灵活运用图形的几何性质. (3)对于“双动点”问题,若已知一动点在某条曲线上运动而求另一动点的轨迹方程,则通常用代入法. [针对训练] 设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM,ON为两边作平行四边形MONP,求点P的轨迹. 角度2　直接法求轨迹方程 [例4] 已知直角三角形ABC的斜边为AB,且A(-1,0),B(3,0), 求:直角顶点C的轨迹方程. 利用直接法求轨迹方程时,先建立适当的坐标系,设动点坐标为(x,y),根据几何条件直接寻求x,y之间的关系式,化简得之. [针对训练] 已知两定点A(-2,0),B(1,0),若动点P满足|PA|=2|PB|,求P的轨迹方程. 1.已知圆M:x2+y2-6x+2y+5=0,则该圆的圆心坐标为 (　 　) A.(-3,1) B.(-3,-1) C.(3,1) D.(3,-1) D 解析:圆M:x2+y2-6x+2y+5=0,其标准方程为(x-3)2+ (y+1)2=5,其圆心坐标为(3,-1). D 解析:由圆的方程为x2+y2+2ax+9=0,圆心坐标为(5,0),可得a=-5,所以圆的方程为x2+y2-10x+9=0,即(x-5