2.4.2 圆的一般方程(课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

高中数学 选择性必修 第一册 A版 赢在微点 轻松课堂 数学 第二章 直线和圆的方程 2.4　圆的方程 2.4.2　圆的一般方程 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.4 2.4.2　圆的一般方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 前面我们已讨论了圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,现将其展开可得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0。可见,任何一个圆的方程都可以变形为x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式。请大家思考一下,形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程表示的曲线是不是圆?下面我们来探讨这一方面的问题。 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 课程标准 回顾确定圆的几何要素,在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的一般方程。 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.4 2.4.2　圆的一般方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 自主预习·明新知 稳健启程，新知初步构建 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.4 2.4.2　圆的一般方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 1.圆的一般方程的定义 将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的左边配方,并把常数项移到右边,得 。 (1)当 时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程,其圆 心为 ,半径为 。 (2)当D2+E2-4F=0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示 。 (3)当 时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0不表示任何图形。 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.4 2.4.2　圆的一般方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 2.轨迹方程 (1)点M的轨迹方程是指点M的坐标(x,y)满足的关系式。 (2)轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形。在解析几何中,我们常常把图形看作点的轨迹(集合)。 (3)求符合某种条件的动点M的轨迹方程,实质上就是利用题设中的几何条件,通过“坐标化”将其转化为关于变量x,y之间的方程。 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.4 2.4.2　圆的一般方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 微提醒 二元二次方程要想表示圆,需x2和y2的系数相同且不为0,没有xy这样的二次项。 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.4 2.4.2　圆的一般方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 微思考 1.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0一定表示圆吗? 提示:不一定。只有D2+E2-4F>0时表示圆,否则不表示圆。 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.4 2.4.2　圆的一般方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 微思考 2.如果点P(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0内,那么应满足什么关系式?在圆外呢? 提示:若点P在圆内,则+Dx0+Ey0+F<0;若点P在圆外,则+Dx0+Ey0+F>0。 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.4 2.4.2　圆的一般方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 合作探究·攻重难 细研深究，萃取知识精华 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.4 2.4.2　圆的一般方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 类型一　二元二次方程与圆的关系 　若方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圆,求: (1)实数m的取值范围; 例1 (1)由题意知D2+E2-4F=(2m)2+(-2)2-4(m2+5m)>0,即4m2+4-4m2-20m>0,解得m<,故m的取值范围为。 解 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.4 2.4.2　圆的一般方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 (2)圆心坐标和半径。 (2)将方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0写成标准方程为(x+m)2+(y-1)2=1-5m,故圆心坐标为(-m,1),半径r=。 解 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.4 2.4.2　圆的一般方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 　　判断二元二次方程与圆的关系时,一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征,当它具备圆的一般方程的特征时,再看它能否表示圆。此时有两种途径:一是看D2+E2-4F是否大于零;二是直接配方变形,看方程等号右端是否为大于零的常数。 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.4 2.4.2　圆的一般方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 变式训练 　(1)方程2x2+2y2-4x+8y+10=0表示的图形是 A.一个点 B.一个圆 C.一条直线 D.不存在 方程2x2+2y2-4x+8y+10=0,可化为x2+y2-2x+4y+5=0,即(x-1)2+ (y+2)2=0,所以方程2x2+2y2-4x+8y+10=0表示点(1,-2)。 解析 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.4 2.4.2　圆的一般方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 (2)方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则实数a的取值范围是 A.(-∞,-2)∪ B. C.(-2,0) D. 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.4 2.4.2　圆的一般方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,所以a2+4a2-4(2a2+a-1)>0,所以3a2+4a-4<0,所以(a+2)(3a-2)<0,所以-2<a<。 解析 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.4 2.4.2　圆的一般方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 类型二　求圆的一般方程 　求满足下列条件的圆的方程: (1)经过A(4,0),B(3,-3),C(1,1)三点; 例2 (1)解法一:设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,分别代入(4,0),(3,-3),(1,1)三点,得所以圆的方程为x2+y2-4x+2y=0。 解 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.4 2.4.2　圆的一般方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 解法二:已知A(4,0),B(3,-3),C(1,1)三点,所以kAB==3,kAC=,所以kAB·kAC=-1,所以AB⊥AC,即△ABC是以BC为斜边的直角三角形。所以经过A(4,0),B(3,-3),C(1,1)三点的圆的圆心为BC的中点M(2,-1),半径为|AM|=,所以圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=5。 解 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.4 2.4.2　圆的一般方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 (2)圆心在直线y=x上,与x轴相交于(-1,0),(3,0)两点。 (2)解法一:设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则圆心为。因为圆心在直线y=x上,且圆过(-1,0),(3,0)两点,所以所以圆的方程为x2+y2-2x-2y-3=0。 解法二:因为圆与x轴相交于(-1,0),(3,0)两点,所以圆心在直线x=1 上。又圆心在直线y=x上,所以圆心坐标为(1,1)。所以圆的半径为,所以圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=5。 解 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.4 2.4.2　圆的一般方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 　　待定系数法求圆的一般方程的步骤 (1)根据题意设所求的圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0; (2)根据已知条件,建立关于D,E,F的方程组; (3)解此方程组,求出D,E,F的值; (4)将所得的值代回所设的圆的方程中,就得到所求的圆的一般方程。 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.4 2.4.2　圆的一般方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 变式训练 　(1)过点M(-1,1),且圆心与已知圆C:x2+y2-4x+6y-3=0相同的圆的方程为 。  将圆C的方程化为标准方程(x-2)2+(y+3)2=16,圆心C的坐标为(2,-3),半径为4,故所求圆的半径为r=|CM|==5。所求圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=25。 解析 (x-2)2+(y+3)2=25 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.4 2.4.2　圆的一般方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 (2)过三点O(0,0),M(7,1),N(4,2)的圆的方程为 。  设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0。由已知,点O(0,0),M(7,1), N(4,2)的坐标满足上述方程,分别代入方程,可得关于D,E,F的三元一次方程组解方程组得D=-8,E=6,F=0,于是得到所求圆的方程为x2+y2-8x+6y=0。 解析 x2+y2-8x+6y=0 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.4 2.4.2　圆的一般方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 类型三　轨迹问题 (1)求到点O(0,0)的距离是到点A(3,0)的距离的的点的轨迹方程。 例3 设M(x,y)到O(0,0)的距离是到A(3,0)的距离的,即。化简得x2+y2+2x-3=0。即所求轨迹方程为(x+1)2+y2=4。 解 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.4 2.4.2　圆的一般方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 (2)已知点P在圆C:x2+y2-8x-6y+21=0上运动,求线段OP的中点M的轨迹方程。 设点M(x,y),点P(x0,y0),则因为点P(x0,y0)在圆C:x2+y2-8x-6y+21=0上,所以-8x0-6y0+21=0。所以(2x)2+(2y)2-8×(2x)-6×(2y)+21=0。即点M的轨迹方程为x2+y2-4x-3y+=0。 解 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.4 2.4.2　圆的一般方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 　　求与圆有关的轨迹问题的常用方法 (1)直接法:根据题目的条件,建立适当的平面直角坐标系,设出动点坐标,并找出动点坐标所满足的关系式。 (2)定义法:当列出的关系式符合圆的定义时,可利用定义写出动点的轨迹方程。 (3)代入法:若动点P(x,y)随着圆上的另一动点Q(x1,y1)运动而运动,且x1,y1可用x,y表示,则可将Q点的坐标代入已知圆的方程,即得动点P的轨迹方程。 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.4 2.4.2　圆的一般方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 变式训练 　点A(2,0)是圆x2+y2=4上的定点,点B(1,1)是圆内一点,P,Q为圆上的动点。 (1)求线段AP的中点M的轨迹方程; (1)设线段AP的中点为M(x,y),由中点坐标公式得点P(2x-2,2y)。因为点P在圆x2+y2=4上,所以(2x-2)2+(2y)2=4,故线段AP的中点M的轨迹方程为(x-1)2+y2=1。 解析 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.4 2.4.2　圆的一般方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 (2)若∠PBQ=90°,求线段PQ的中点N的轨迹方程。 (2)设线段PQ的中点为N(x,y),在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|。设O为原 点,连接ON,则ON⊥PQ,所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4,故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0。 解析 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.4 2.4.2　圆的一般方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 当堂检测·提素养 即时训练，巩固当堂所学 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.4 2.4.2　圆的一般方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 1.方程x2+y2-2x-4y+6=0表示的轨迹为 A.圆心为(1,2)的圆 B.圆心为(2,1)的圆 C.圆心为(-1,-2)的圆 D.不表示任何图形 因为x2+y2-2x-4y+6=0等价于(x-1)2+(y-2)2=-1,即方程无解,所以该方程不表示任何图形。故选D。 解析 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.4 2.4.2　圆的一般方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 2.若圆x2+y2-2kx-4=0关于直线2x-y+3=0对称,则k等于 A. B.- C.3 D.-3 由题意知,直线2x-y+3=0过圆心。因为圆心坐标为(k,0),所以2k+3=0, k=-。 解析 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.4 2.4.2　圆的一般方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 3.已知一动点M到点A(-4,0)的距离是它到点B(2,0)的距离的2倍,则动点M的轨迹方程是 。  设动点M的坐标为(x,y),则|MA|=2|MB|,即 ,整理,得x2+y2-8x=0。故所求动点M的轨迹方程为x2+y2-8x=0。 解析 x2+y2-8x=0 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.4 2.4.2　圆的一般方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 4.若圆的圆心为(3,1),且与x轴相切,则圆的一般方程是 。  由题意知圆的半径为1,所以圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=1,即x2+y2-6x-2y+9=0。 解析 x2+y2-6x-2y+9=0 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.4 2.4.2　圆的一般方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 5.已知点A(2,2),B(5,3),C(3,-1)。 (1)求△ABC的外接圆的一般方程; (1)设△ABC外接圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,由题意,得即△ABC的外接圆的方程为x2+y2-8x-2y+12=0。 解 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.4 2.4.2　圆的一般方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 (2)若点M(a,2)在△ABC的外接圆上,求a的值。 (2)由(1)知,△ABC的外接圆的方程为x2+y2-8x-2y+12=0,因为点M(a,2)在△ABC的外接圆上,所以a2+22-8a-2×2+12=0,即a2-8a+12=0,解得a=2或a=6。 解 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.4 2.4.2　圆的一般方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 $$