2.8 直线与圆锥曲线的位置关系-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习教学课件ppt（新教材，人教B版）

2.8　直线与圆锥曲线的 位置关系 1.掌握解决直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系的思想方法. 2.通过圆锥曲线与方程的学习,进一步体会数形结合的 思想. 学习目标 1 知识梳理 自主探究 1.直线与圆锥曲线的位置关系 相交 (1)当a≠0时,设一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式为 Δ,则: Δ>0⇔直线与圆锥曲线C ; Δ=0⇔直线与圆锥曲线C ; Δ<0⇔直线与圆锥曲线C . (2)当a=0,b≠0时,即得到一个一次方程,则直线l与圆锥曲线C相交,且只有一个交点,此时,若C为双曲线,则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是 ;若C为抛物线,则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是 . 相切 相离 平行 平行或重合 [思考] 直线与抛物线、双曲线只有一个公共点时,是否一定相切? 提示:不一定,当直线与双曲线的渐近线平行或与抛物线的对称轴平行时,直线与双曲线、抛物线只有一个公共点,但此时直线与双曲线、抛物线相交. 2.圆锥曲线的弦长 (1)直线与椭圆位置关系的有关结论: ①过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切; ②过椭圆上一点有且仅有一条直线与椭圆相切; ③过椭圆内一点的直线均与椭圆相交. (2)直线与抛物线位置关系的有关结论: ①过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点,两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线; ②过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点,一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线; ③过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点,一条与对称轴平行或重合的直线. 2 师生互动 合作探究 直线与圆锥曲线的位置关系 (1)求椭圆C1的方程; (2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2:y2=4x相切,求直线l的方程. 研究直线与圆锥曲线的位置关系时,一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数,消元后,应注意讨论含x2项的系数是否为零的情况,以及判别式的应用.但对于选择、填空题要充分利用几何条件,用数形结合的方法求解. 弦长问题 有关圆锥曲线弦长问题的求解方法: 涉及弦长的问题时,应熟练地利用根与系数的关系、设而不求法计算弦长;涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算;涉及过焦点的弦的问题,可考虑用圆锥曲线的定义求解. 中点弦问题 [例3] 已知点A,B的坐标分别是(-1,0),(1,0),直线AM, BM相交于点M,且它们的斜率之积为-2. (1)求动点M的轨迹方程; [例3] 已知点A,B的坐标分别是(-1,0),(1,0),直线AM, BM相交于点M,且它们的斜率之积为-2. 处理中点弦问题常用的求解方法: (2)根与系数的关系.即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组,化为一元二次方程后,由根与系数的关系求解. 圆锥曲线中的最值及范围问题 (1)求双曲线C的标准方程; (2)设双曲线C的左、右焦点分别为F1,F2,过左焦点F1作直线l交双曲线的左支于A,B两点,求△ABF2周长的取值范围. 求最值或范围问题的方法: (1)几何法 题目中给出的条件有明显的几何特征,则考虑用图象来 解决. (2)代数法 题目中给出的条件和结论几何特征不明显,则可以建立目标函数,再求这个函数的最值,求最值的常见方法是均值不等式法、单调性法等. (1)求椭圆E的标准方程; 定点、定值问题 (1)求C的方程; (2)已知直线l不过点P,且与C相交于A,B两点,且直线PA与直线PB的斜率之积为1,证明:l过定点. 由题意,得y1y2+(y1+y2)+1=1, 即y1y2+(y1+y2)=0,③ 将①②代入③得-t+n=0,即t=n. 所以l:x=n(y+1). 显然l过定点(0,-1). (1)圆锥曲线中定点问题的两种解法. ①引进参数法.引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点. ②特殊到一般法.根据动点或动线的特殊情况探索出定 点,再证明该定点与变量无关. (2)圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略. ①求代数式为定值.依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得出定值. ②求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件化简、变形求得. ③求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式,再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得. D 1.过点P(0,1)作一条直线,与抛物线y2=-4x恰好有一个公共点,则符合条件的直线的条数为(　 　) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:如图所示,过点P(0,1)作直线与抛物线y2=-4x恰好有一个公共点, 符合条件的直线有三条,其中两条是与抛物线相 切的直线,其中包含y轴,另一条是与抛