2.7.2 抛物线的几何性质-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习教学课件ppt（新教材，人教B版）

2.7.2　抛物线的几何性质 1.了解抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、准线、取值范围). 2.了解抛物线的简单应用. 学习目标 1 知识梳理 自主探究 如果让抛物线绕其对称轴旋转,就得到一个旋转形成的抛物面曲面,旋转抛物面的轴上,有一个焦点,任何一条平行于抛物面轴的光(射)线由抛物面上反射出来之后,其反射光(射)线都通过该点,应用抛物面的这个几何性质,人们设计了很多非常有用的东西,如太阳灶、卫星电视天线、雷达等.当然这条性质本身也是抛物线的一条性质,今天我们就来具体研究一下构成抛物面的线——抛物线的几何性质. 1.抛物线的几何性质 标准 方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0) 图形 性 质 范围 x≥0, y∈R x≤0, y∈R x∈R, y≥0 x∈R, y≤0 对称轴 x轴 y轴 顶点 . 离心率 e= . (0,0) 1 y2=2px(p>0) |AB|= . y2=-2px(p>0) |AB|=p-(x1+x2) x2=2py(p>0) |AB|= . x2=-2py(p>0) |AB|=p-(y1+y2) 2.焦点弦 设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2+p y1+y2+p 焦点弦的几何性质 如图,已知AB是抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦,点F是抛物线的焦点,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的倾斜角为θ,过A,B分别作准线l的垂线AC,BD,垂足分别为C,D,M(x0,y0)为AB的中点,MM′⊥CD于点M′,N为准线l与x轴的交点,可以证明以下结论: (1)A,O,D三点共线,且B,O,C三点共线; (2)AM′⊥BM′,CF⊥DF,M′F⊥AB; (3)以AB为直径的圆与准线相切(切点为M′); 以CD为直径的圆与AB相切(切点为F),以AF或BF为直径的圆与y轴相切; (4)∠ANF=∠BNF; (12)当直线经过抛物线的焦点,且与抛物线的对称轴垂直时,直线被抛物线截得的线段称为抛物线的通径,显然通径长等于2p. 2 师生互动 合作探究 抛物线的几何性质 [例1] 已知抛物线y2=8x,求出该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的取值范围. 解:抛物线y2=8x,p=4,所以顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的取值范围分别为(0,0),(2,0),x=-2,x轴, [0,+∞). 把握三个要点,确定抛物线的简单几何性质: (1)开口.由抛物线标准方程看图象开口,关键是看准二次项是x还是y,一次项的系数是正还是负. (2)关系.顶点位于焦点与准线中间、准线垂直于对称轴. (3)定值.焦点到准线的距离为p;过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p;离心率恒等于1. 焦点弦问题 [例2] 已知过点(1,2)的抛物线方程为y2=2px(p>0),过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A,B两点,且|AB|=5. (1)求抛物线的方程、焦点坐标、准线方程; 解:(1)因为点(1,2)在抛物线y2=2px(p>0)上,则p=2, 所以抛物线的方程为y2=4x,焦点F(1,0),准线方程为 x=-1. [例2] 已知过点(1,2)的抛物线方程为y2=2px(p>0),过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A,B两点,且|AB|=5. (2)求弦AB所在的直线方程. 焦点弦长的求解方法: 设过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的弦的端点为A(x1,y1), B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+p,然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立、消元,由根与系数的关系求出x1+x2即可. [针对训练] 已知直线l经过抛物线y2=6x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点. (1)若直线l的倾斜角为60°,求|AB|的值; [针对训练] 已知直线l经过抛物线y2=6x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点. (2)若|AB|=9,求线段AB的中点M到准线的距离. C 1.顶点在原点,对称轴是y轴,并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为(　 　) A.x2=±3y B.y2=±6x C.x2=±12y D.y2=±6y D 2.已知抛物线的方程为y2=-8x,则直线2x+y+8=0被该抛物线所截得的弦长为(　 　) 3.设抛物线的顶点为原点,焦点F在x轴上,过F的直线交抛物线于点A,则以AF为直径的圆(　 　) A.必过原点 B.必与x轴相切 C.必与y轴相切 D.必与抛物线的准线相切 C x-y-1=0 4.已知一条过点P(2,1)的直线与抛物线y2=2x交于A,B两点,且P是弦AB的中点,则直线AB