2.5.2 椭圆的几何性质-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习教学课件ppt（新教材，人教B版）

2.5.2　椭圆的几何性质 1.掌握椭圆的几何性质,了解椭圆标准方程中a,b,c的几何意义. 2.会用椭圆的几何意义解决相关问题. 学习目标 1 知识梳理 自主探究 奥地利维也纳金色大厅的顶棚设计为椭圆面,舞台在这个椭圆面的一个焦点处.当乐队在舞台上演奏时,椭圆面顶棚会把声音反射到椭圆面的另一个焦点处汇聚,因此在这个焦点处的听众就感到还有另外一个乐队存在(其实什么都没有).所以能产生很好的听觉效果.其实这就是利用了本节课要学习的椭圆的几何性质,那么椭圆还有什么其他的几何性质吗? 1.椭圆的简单几何性质 范围 . . . . 顶点 A1(-a,0),A2(a,0) B1(0,-b),B2(0,b) A1(0,-a),A2(0,a) B1(-b,0),B2(b,0) 轴长 长轴长为 ,短轴长为 . 焦点 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c) 焦距 |F1F2|= . 对称性 对称轴为 ,对称中心为 . -a≤x≤a, 且-b≤y≤b -b≤x≤b, 且-a≤y≤a 2a 2b 2c 坐标轴 原点 [思考1] 椭圆上的点到焦点的最大距离与最小距离分别是什么? 提示:最大距离为a+c;最小距离为a-c. 2.离心率 (1)定义:椭圆的半焦距与半长轴长之比 称为椭圆的离心率. (2)性质:离心率e的范围是 .当e越趋近于 1时,椭圆 ;当e越趋近于 时,椭圆就越接近于圆. (0,1) 越扁 0 [思考2] 如图,观察不同的椭圆,椭圆的扁平程度不一样,怎样刻画椭圆的扁平程度呢? (2)椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形框里.椭圆关于x轴、y轴对称,同时关于原点对称. (3)椭圆的离心率: [特别提醒] 椭圆的焦点一定在长轴上. 2 师生互动 合作探究 根据椭圆的方程研究其几何性质 [例1] 求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标. (1)已知椭圆的方程讨论性质时,若不是标准形式的先化成标准形式,再确定焦点的位置,进而确定椭圆的类型. (2)焦点位置不确定的要分类讨论,找准a与b,正确利用a2=b2+c2求出焦点坐标,再写出顶点坐标.同时要注意长轴长、短轴长、焦距不是a,b,c,而应是a,b,c的两倍. (2)已知椭圆的长轴长为10,短轴长为8,则椭圆上任意一点P到椭圆中心O的距离的取值范围是(　　) A.[4,5] B.[6,8] C.[6,10] D.[8,10] 由几何性质求椭圆的方程 [例2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)用几何性质求椭圆的标准方程通常采用的方法是待定系 数法. (2)根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准,定参数”,即先明确焦点的位置或分类讨论.一般步骤是①求出a2, b2的值;②确定焦点所在的坐标轴;③写出标准方程. C 椭圆的离心率 求离心率e的值或取值范围问题就是寻求它们的方程或不等式,具体如下: (3)若已知b,c,则求a,再利用(1)或(2)求解; (4)若已知a,b,c的关系,可转化为关于离心率e的方程(不等式)求值(取值范围). 与椭圆有关的最值或取值范围问题 4 与椭圆有关的最值或取值范围问题的求解方法主要有以下几种: (1)利用数形结合、几何意义尤其是椭圆的性质,求最值或取值范围. (2)利用函数尤其是二次函数求最值或取值范围. (3)利用不等式尤其是基本不等式求最值或取值范围. (4)利用一元二次方程的判别式求最值或取值范围. B D 9或16 4.已知长方形ABCD,|AB|=4,|BC|=3,则以A,B为焦点,且 过C,D的椭圆的离心率为　　　　.  [例3] 求适合下列条件的椭圆的标准方程. [例3] 求适合下列条件的椭圆的标准方程. (2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直,且焦距为8. 点击进入 课时作业 谢谢观看 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0) e= 提示:在椭圆+=1(a>b>0)中,若保持a不变,改变c,可以发现c越接近于a,椭圆越扁平,可以用a,c两个量来刻画椭圆的扁平程度. (1)椭圆方程+=1(a>b>0)中a,b,c的几何意义:在方程+=1(a>b>0)中,a,b,c正好构成了一个以对称中心、一个焦点、一个短轴顶点为顶点的直角三角形. 解:把已知方程化成标准方程+=1,可知 a=5,b=4,所以c=3.因此,椭圆的长轴和短轴的长分别是2a=10和2b=8,离心率e==,两个焦点分别是F1(-