2.2.2 直线的方程-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习教学课件ppt（新教材，人教B版）

2.2.2　直线的方程 1.会求直线的点斜式、斜截式、两点式和一般式的方程. 2.掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种基本形式及它们之间的关系. 3.灵活选用恰当的方式求直线方程. 学习目标 1 知识梳理 自主探究 1.直线的方程、方程的直线 一般地,如果直线l上点的坐标都是方程F(x,y)=0的解,而且以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在直线l上,则称F(x,y)=0为直线l的方程,而直线l称为方程F(x,y)=0的直线.此时,为了简单起见,“直线l”也可以说成“直线F(x,y)=0”,并且记作l:F(x,y)=0. 2.直线的点斜式方程 直线l经过点P0(x0,y0). (1)如果直线l的斜率不存在,则直线l的方程为 . (2)如果直线l的斜率存在且为k,则直线l的方程为 ,称为直线的点斜式方程. x=x0 y-y0=k(x-x0) [思考1] 直线的点斜式方程应用范围是什么? 提示:直线l的斜率k存在. 3.直线的斜截式方程 (1)直线l在坐标轴上的截距. ①直线在y轴上的截距:直线l与y轴的交点(0,b)的 . ②直线在x轴上的截距:直线l与x轴的交点(a,0)的 . (2)直线的斜截式方程. 已知斜率k和在y轴上的截距b,则直线l的方程为 . 纵坐标b 横坐标a y=kx+b [思考2] 直线的斜截式方程应用范围是什么? 提示:直线l的斜率k存在. 4.直线的两点式方程 直线l经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中x1≠x2,y1≠y2), 则直线l的方程为 . 5.直线的截距式方程 直线l在x轴、y轴上的截距分别为a,b,其中a≠0,b≠0,则直线方程为 =1. 6.直线的一般式方程 Ax+By+C=0,其中A,B,C都是实常数,而且A与B不同时为零(即A2+B2≠0). 7.关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0) (1)如果B≠0,则方程可以化为y= ,它表示 的是斜率为 ,且在y轴上的截距为 的直线. 不存在 [提醒] (1)对于直线的一般式方程,有如下约定:一般按含x项、含y项、常数项顺序排列;x项的系数为正;x,y项的系数和常数项一般不出现分数;直线方程的其他形式都可以化成一般式.解题时,如果没有特别说明应把最后结果化成一般式. (2)直线方程Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的系数A,B,C满足下列关系 时,这条直线有以下性质: ①当A≠0,B≠0时,直线与两坐标轴都相交; ②当A≠0,B=0,C≠0时,直线只与x轴相交,即直线与y轴平行,与x轴垂直; ③当A=0,B≠0,C≠0时,直线只与y轴相交,即直线与x轴平行,与y轴垂直; ④当A=0,B≠0,C=0时,直线与x轴重合; ⑤当A≠0,B=0,C=0时,直线与y轴重合. 向量和直线方程: (2)向量v=(A,B)是直线Ax+By+C=0的一个法向量. 2 师生互动 合作探究 求直线的点斜式方程 [例1] 写出下列直线的点斜式方程: (1)经过点(2,5),倾斜角为45°; 解:(1)因为倾斜角为45°, 所以斜率k=tan 45°=1, 所以直线的点斜式方程为y-5=x-2. (2)经过点C(-1,-1),且与x轴平行; 解:(2)由题意知,直线的斜率k=tan 0°=0, 所以直线的点斜式方程为y-(-1)=0. (3)经过点D(1,1),且与x轴垂直. 解:(3)由题意可知直线的斜率不存在,所以该直线没有点斜式方程. [例1] 写出下列直线的点斜式方程: (1)当k=0时,直线方程变为y=y0.这时,直线平行于x轴或与x轴重合. (2)点斜式方程的应用前提是直线的斜率存在,当直线l的倾斜角为90°时,直线l的斜率不存在,这时直线l的方程不能用点斜式表示,此时直线l的方程可表示为x-x0=0或x=x0. 求直线的斜截式方程 [例2] (1)已知直线的倾斜角为45°,在y轴上的截距为2,则此直线方程为(　　) A.y=-x-2 B.y=x-2 C.y=x+2 D.y=-x+2 解析:(1)因为直线的倾斜角为45°, 所以直线的斜率为k=tan 45°=1, 由斜截式可得方程为y=x+2,故选C. (2)倾斜角为120°,在x轴上的截距为-1的直线方程是 (　　) (1)求直线的斜截式方程,只要确定直线的斜率和在y轴上的截距即可,要特别注意截距和距离的区别. (2)直线的斜截式方程y=kx+b不仅形式简单,而且特点明显,k是直线的斜率,b是直线在y轴上的截距,只要确定了k和b的值,直线的图象就一目了然.因此,在解决直线