2.2.2 直线的方程-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教B版）

2.2.2　直线的方程 学习目标 1.会求直线的点斜式、斜截式、两点式和一般式的方程. 2.掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种基本形式及它们之间的关系. 3.灵活选用恰当的方式求直线方程. 1.直线的方程、方程的直线 一般地,如果直线l上点的坐标都是方程F(x,y)=0的解,而且以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在直线l上,则称F(x,y)=0为直线l的方程,而直线l称为方程F(x,y)=0的直线.此时,为了简单起见,“直线l”也可以说成“直线F(x,y)=0”,并且记作l:F(x,y)=0. 2.直线的点斜式方程 直线l经过点P0(x0,y0). (1)如果直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=x0. (2)如果直线l的斜率存在且为k,则直线l的方程为y-y0=k(x-x0),称为直线的点斜式方程. [思考1] 直线的点斜式方程应用范围是什么? 提示:直线l的斜率k存在. 3.直线的斜截式方程 (1)直线l在坐标轴上的截距. ①直线在y轴上的截距:直线l与y轴的交点(0,b)的纵坐标b. ②直线在x轴上的截距:直线l与x轴的交点(a,0)的横坐标a. (2)直线的斜截式方程. 已知斜率k和在y轴上的截距b,则直线l的方程为y=kx+b. [思考2] 直线的斜截式方程应用范围是什么? 提示:直线l的斜率k存在. 4.直线的两点式方程 直线l经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中x1≠x2,y1≠y2),则直线l的方程为=. 5.直线的截距式方程 直线l在x轴、y轴上的截距分别为a,b,其中a≠0,b≠0,则直线方程为+=1. 6.直线的一般式方程 Ax+By+C=0,其中A,B,C都是实常数,而且A与B不同时为零(即A2+B2≠0). 7.关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0) (1)如果B≠0,则方程可以化为y=-x-,它表示的是斜率为-,且在y轴上的截距为-的直线. (2)如果B=0,则由A与B不同时为零可知A≠0,从而方程可以化为x=-,它表示的是斜率不存在且过点(-,0)的直线. [提醒] (1)对于直线的一般式方程,有如下约定:一般按含x项、含y项、常数项顺序排列;x项的系数为正;x,y项的系数和常数项一般不出现分数;直线方程的其他形式都可以化成一般式.解题时,如果没有特别说明应把最后结果化成一般式. (2)直线方程Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的系数A,B,C满足下列关系时,这条直线有以下性质: ①当A≠0,B≠0时,直线与两坐标轴都相交; ②当A≠0,B=0,C≠0时,直线只与x轴相交,即直线与y轴平行,与x轴垂直; ③当A=0,B≠0,C≠0时,直线只与y轴相交,即直线与x轴平行,与y轴垂直; ④当A=0,B≠0,C=0时,直线与x轴重合; ⑤当A≠0,B=0,C=0时,直线与y轴重合. 向量和直线方程: (1)如果已知P0(x0,y0)是直线l上的一点,而且l的斜率为k,则直线的一个方向向量为a=(1,k);设P(x,y)为平面直角坐标系中任意一点,则P在直线l上的充要条件是与a共线,又因为=(x-x0,y-y0),所以y-y0=k(x-x0). (2)向量v=(A,B)是直线Ax+By+C=0的一个法向量. 求直线的点斜式方程 [例1] 写出下列直线的点斜式方程: (1)经过点(2,5),倾斜角为45°; (2)经过点C(-1,-1),且与x轴平行; (3)经过点D(1,1),且与x轴垂直. 解:(1)因为倾斜角为45°, 所以斜率k=tan 45°=1, 所以直线的点斜式方程为y-5=x-2. (2)由题意知,直线的斜率k=tan 0°=0, 所以直线的点斜式方程为y-(-1)=0. (3)由题意可知直线的斜率不存在,所以该直线没有点斜式方程. (1)当k=0时,直线方程变为y=y0.这时,直线平行于x轴或与x轴重合. (2)点斜式方程的应用前提是直线的斜率存在,当直线l的倾斜角为90°时,直线l的斜率不存在,这时直线l的方程不能用点斜式表示,此时直线l的方程可表示为x-x0=0或x=x0. [针对训练] 经过点(-1,1),斜率是直线y=x-2的斜率的2倍的直线方程是(　　) A.x=-1 B.y=1 C.y-1=(x+1) D.y-1=2(x+1) 解析:由题意知直线的斜率为, 故所求直线的斜率是,因此所求直线的方程为y-1=(x+1).故选C. 求直线的斜截式方程 [例2] (1)已知直线的倾斜角为45°,在y轴上的截距为2,则此直线方程为(　　) A.y=-x-2 B.y=x-2 C.y=x+2 D.y=-x+2 (2)倾斜角为120°,在x轴上的截距为-1的直线方程是(　　) A.y=-x-1 B.y=x-1 C.y=-x+