第二章 平面解析几何 章末总结-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教B版）

章末总结 判断对错(正确的打“√”,错误的打“×”). (1)直线的倾斜角越大,其斜率就越大.(　×　) (2)过定点P0(x0,y0)的直线都可用方程y-y0=k(x-x0)表示.(　×　) (3)经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示.(　√　) (4)“k=1”是“直线x-y+k=0与圆x2+y2=1相交”的必要不充分条件.(　×　) (5)过圆O:x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程是x0x+y0y=r2.(　√　) (6)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解,则两圆外切.(　×　) (7)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交.(　×　) (8)直线l与椭圆C相切的充要条件是直线l与椭圆C只有一个公共点.(　√　) (9)直线l与双曲线C相切的充要条件是直线l与双曲线C只有一个公共点.(　×　) (10)过抛物线y2=2px(p>0)焦点的弦中最短弦的弦长是2p.(　√　) 专题归纳 题型一　直线与圆 [典例1] (1)(多选题)已知直线l:m(x-y+2)-x-y=0(m∈R),圆C的方程为(x-1)2+(y+3)2=25.则下列说法正确的是(　　) A.对于任意的m∈R,直线过定点(-1,1) B.存在m,使得直线l与圆C相切 C.存在m,使得直线l与圆C相交时弦长为4 D.存在m,使得直线l与圆C相交时弦长为2 (2)直线l:(m+1)x+(1-m)y-4m-2=0被圆C:(x-2)2+(y+3)2=9所截得的弦中,最短弦所在直线的一般方程是　　　　　　　.  (3)已知A(2,0),B(8,0),C(4,2),且动点P满足=,则2|PC|+|PB|取得最小值时,点P的坐标是　　　　.  解析:(1)当时,有故对于任意的m∈R,直线过定点(-1,1),A正确; 又C(1,-3)且r=5,故(-1,1)到圆心C的距离为d==2<5, 所以直线l与圆C相交,且相交弦最短为2=2>4,故B,C错误,D正确. 故选AD. (2)直线l:(m+1)x+(1-m)y-4m-2=0, 即m(x-y-4)+(x+y-2)=0, 圆C:(x-2)2+(y+3)2=9的圆心C(2,-3),半径为3, 由解得故直线l经过定点A(3,-1),A在圆C内, 要使直线l被圆C截得的弦长最短,需CA和直线l垂直, 故有kCA·kl=-1,即·(-)=-1, 解得m=-,所以直线的一般方程为x+2y-1=0. (3)设P(x,y),则==,整理可得x2+y2=16. 因为2|PC|+|PB|=2|PC|+2|PA|=2(|PC|+|PA|), 所以当A,P,C三点共线且P在线段AC上时,2|PC|+|PB|取得最小值, 又直线AC方程为=,即y=x-2. 由得或 又P在线段AC上,所以P(+1,-1). 答案:(1)AD　(2)x+2y-1=0　(3)(+1,-1) (1)判断直线与圆的位置关系时,若两方程已知或圆心到直线的距离易表达,则用几何法;若方程中含有参数,或圆心到直线的距离的表达较烦琐,则用代数法.能用几何法,尽量不用代数法. (2)弦长的两种求法 ①代数方法:将直线和圆的方程联立方程组,消元后得到一个一元二次方程.在判别式Δ>0的前提下,利用根与系数的关系,根据弦长公式求弦长. ②几何方法:若弦心距为d,圆的半径长为r,则弦长 l=2. (3)对于圆的最值问题,一般是根据条件列出关于所求目标的式子——函数关系式,然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法等,应用不等式的性质求出最值. 题型二　求圆锥曲线的方程 [典例2] (1)已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9.动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程是(　　) A.-=1 B.+=1 C.-=1 D.+=1 (2) 如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A,B,C,若|BC|=2|BF|,且 |AF|=3,则抛物线的方程为(　　) A.y2=x B.y2=3x C.y2=x D.y2=9x (3)直线l:x-2y-5=0过双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点,且与其一条渐近线平行,则该双曲线的方程为(　　) A.-=1 B.-=1 C.-y2=1 D.x2-=1 解析:(1)设动圆的圆心M(x,y),半径为r, 圆M与圆C1:(x-4)2+y2=169内切,与C2:(x+4)2+y2=9外切, 所以|MC1|=13-r,|MC2|=3+r, |MC1|+|MC2|=16>|C1C2|=8. 由椭圆的定义,M的轨迹是以C1,C2为焦点,长轴长为