2.8 直线与圆锥曲线的位置关系-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教B版）

2.8　直线与圆锥曲线的位置关系 学习目标 1.掌握解决直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系的思想方法. 2.通过圆锥曲线与方程的学习,进一步体会数形结合的思想. 1.直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时,通常将直线l的方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x,y)=0,消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程,即消去y,得ax2+bx+c=0. (1)当a≠0时,设一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式为Δ,则: Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交; Δ=0⇔直线与圆锥曲线C相切; Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离. (2)当a=0,b≠0时,即得到一个一次方程,则直线l与圆锥曲线C相交,且只有一个交点,此时,若C为双曲线,则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行;若C为抛物线,则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合. [思考] 直线与抛物线、双曲线只有一个公共点时,是否一定相切? 提示:不一定,当直线与双曲线的渐近线平行或与抛物线的对称轴平行时,直线与双曲线、抛物线只有一个公共点,但此时直线与双曲线、抛物线相交. 2.圆锥曲线的弦长 设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A,B两点,A(x1,y1), B(x2,y2),则|AB|=|x1-x2|=·= ·|y1-y2| =·. (1)直线与椭圆位置关系的有关结论: ①过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切; ②过椭圆上一点有且仅有一条直线与椭圆相切; ③过椭圆内一点的直线均与椭圆相交. (2)直线与抛物线位置关系的有关结论: ①过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点,两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线; ②过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点,一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线; ③过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点,一条与对称轴平行或重合的直线. 直线与圆锥曲线的位置关系 [例1] 在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1:+=1(a>b>0)的左焦点为F1(-1,0),且点P(0,1)在C1上. (1)求椭圆C1的方程; (2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2:y2=4x相切,求直线l的方程. 解:(1)椭圆C1的左焦点为F1(-1,0), 所以c=1, 又点P(0,1)在曲线C1上, 所以+=1,得b=1, 则a2=b2+c2=2, 所以椭圆C1的方程为+y2=1. (2)由题意可知,直线l的斜率显然存在且不等于0, 设直线l的方程为y=kx+m(k≠0), 由 消去y, 得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0. 因为直线l与椭圆C1相切, 所以Δ1=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=0. 整理得2k2-m2+1=0.① 由 消去y,得k2x2+(2km-4)x+m2=0. 因为直线l与抛物线C2相切, 所以Δ2=(2km-4)2-4k2m2=0, 整理得km=1.② 综合①②,解得 或 所以直线l的方程为y=x+或y=-x-. 研究直线与圆锥曲线的位置关系时,一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数,消元后,应注意讨论含x2项的系数是否为零的情况,以及判别式的应用.但对于选择、填空题要充分利用几何条件,用数形结合的方法求解. [针对训练] (1)直线y=2x-1与椭圆+=1的位置关系是(　　) A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 (2)过点P(2,1)作直线l,使l与双曲线-y2=1有且仅有一个公共点,这样的直线l共有(　　) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 解析:(1)因为+=<1. 所以(0,-1)在椭圆内, 因为y=2x-1过点(0,-1),所以直线y=2x-1与椭圆+=1相交.故选A. (2)由双曲线的方程可知其渐近线方程为 y=±x, 则点P(2,1)在渐近线y=x上, 又双曲线的右顶点为A(2,0), 如图所示,满足条件的直线l有两条:x=2,y-1=-(x-2).故选B. 弦长问题 [例2] 已知椭圆4x2+y2=1及直线l:y=x+m,若直线l被椭圆截得的弦长为,求直线l的方程. 解:把直线l的方程y=x+m代入椭圆方程 4x2+y2=1,得4x2+(x+m)2=1, 即5x2+2mx+m2-1=0, 则Δ=(2m)2-4×5×(m2-1)=-16m2+20>0,解得-<m<. 设直线l与椭圆的两个交点的横坐标为x1,x2, 则x1+x2=-,x1x2=. 根据弦长公式, 得·=, 解得m=0. 因此,所求直线l的方程为y=x. 有关圆锥曲线弦长问题的求解方法: 涉及弦长的问题时,应熟练地利用根与系数的关系、设而不求法计算弦长;涉及垂直关系时也往往利用根与系