2.6.2 双曲线的几何性质-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教B版）

2.6.2　双曲线的几何性质 学习目标 了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长、离心率的定义、离心率的取值范围和渐近线方程). 　　我们知道,椭圆是一条封闭的曲线,而双曲线是两支“开放式”的曲线,椭圆既是中心对称图形,又是轴对称图形,它具有四个顶点,离心率的范围是(0,1),它的大小决定着椭圆的扁圆程度;双曲线和椭圆有着相似之处,那么双曲线又有怎样的性质呢? 1.双曲线的几何性质 标准方程 -=1 (a>0,b>0) -=1 (a>0,b>0) 性 质 图形 焦点 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c) 焦距 2c 范围 x≤-a或 x≥a, y∈R y≤-a或 y≥a, x∈R 对称性 对称轴:坐标轴;对称中心:原点 顶点 A1(-a,0), A2(a,0) A1(0,-a), A2(0,a) 轴 实轴:线段A1A2,长:2a; 虚轴:线段B1B2,长:2b; 半实轴长:a,半虚轴长:b 离心率 e=∈(1,+∞) 渐近线 y=±x y=±x [思考] 离心率对双曲线开口大小有影响吗?满足什么对应关系? 提示:有影响,因为e===,故当离心率e的值越大,渐近线y=x的斜率越大,双曲线的开口越大,所以e反映了双曲线开口的大小,即双曲线的离心率越大,它的开口就越大. 2.等轴双曲线 实轴长与虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线,它的渐近线是y=±x,离心率e=. 巧设双曲线的六种方法与技巧: (1)焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为-=1(a>0,b>0). (2)焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为-=1(a>0,b>0). (3)与双曲线-=1共焦点的双曲线方程可设为-=1(λ≠0,-b2<λ<a2). (4)与双曲线-=1具有相同渐近线的双曲线方程可设为-=λ(λ≠0). (5)渐近线为y=kx的双曲线方程可设为k2x2-y2=λ(λ≠0). (6)渐近线为ax±by=0的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0). 双曲线的简单几何性质 [例1] 求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程. 解:将9y2-4x2=-36变形为-=1, 即-=1,所以a=3,b=2,c=, 因此顶点为A1(-3,0),A2(3,0), 焦点坐标为F1(-,0),F2(,0), 实轴长是2a=6,虚轴长是2b=4, 离心率e==, 渐近线方程为y=±x=±x. 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤: (1)把双曲线方程化为标准形式是解题的关键. (2)由标准方程确定焦点位置,确定a,b的值. (3)由c2=a2+b2求出c的值,从而得到双曲线的几何性质. [针对训练] 双曲线-y2=1的焦距是　　　　,渐近线方程是　　　　.  解析:在双曲线-y2=1中,a=2,b=1,c=, 所以该双曲线的焦距为2,渐近线方程为y=±x,即x±2y=0. 答案:2　x±2y=0 由双曲线的性质求双曲线的方程 [例2] 根据下列条件,分别求出双曲线的标准方程: (1)过点P(3,-),离心率e=; (2)与双曲线-=1有共同的渐近线,且过点(-3,2). 解:(1)依题意,双曲线的焦点可能在x轴上,也可能在y轴上,分别讨论如下: ①若双曲线的焦点在x轴上, 设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0). 由e=,得=.① 由点P(3,-)在双曲线上,得-=1.② 又a2+b2=c2,结合①②,得a2=1,b2=. 所以双曲线的标准方程为x2-=1. ②若双曲线的焦点在y轴上, 设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0). 同理有=,-=1,a2+b2=c2, 解得b2=-(不合题意,舍去). 故双曲线的焦点只能在x轴上, 所以所求双曲线的标准方程为x2-=1. (2)法一　双曲线-=1的渐近线方程为y=±x.　 ①当所求双曲线的焦点在x轴上时, 设标准方程为-=1(a>0,b>0), 由题意,得解得a2=,b2=4. 所以双曲线的标准方程为-=1. ②当所求双曲线的焦点在y轴上时, 设标准方程为-=1(a>0,b>0), 由题意可得此方程组无解, 所以所求双曲线的标准方程为-=1. 法二　因为所求双曲线与双曲线-=1有共同的渐近线, 所以设所求双曲线的方程为-=λ(λ≠0). 将点(-3,2)代入,得-=λ,即λ=, 所以双曲线的方程为-=, 即双曲线的标准方程为-=1. (1)由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程一般用待定系数法,同样需要经历“定位→定式→定量”三个步骤.当双曲线的焦点不明确时,方程可能有两种形式,此时应注意分类讨论,为了避免讨论,也可设双曲线方程为m