2.1 坐标法-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教B版）

2.1　坐标法 学习目标 1.掌握平面上两点之间的距离公式和中点坐标公式. 2.了解两点之间的距离公式及中点坐标公式的推导方法. 3.体会坐标法在几何中的作用. 4.掌握坐标法在证明几何问题中的应用. 1.平面直角坐标系中的基本公式 (1)数轴上两点间的距离公式:数轴上点A对应的数为x1(即A的坐标为x1,记作A(x1)),且 B(x2),则向量的坐标为x2-x1,从而可以得到数轴上两点之间的距离公式|AB|=||=|x2-x1|. [思考1] 数轴的概念是什么?数轴上的点与实数有怎样的关系? 提示:给定了原点、单位长度和正方向的直线是数轴,数轴上的点与实数是一一对应的. (2)中点坐标公式:已知平面直角坐标系中的两点 A(x1,y1),B(x2,y2),若点M(x,y)是线段AB的中点,则有x=,y=. (3)两点之间的距离公式:已知平面直角坐标系中的两点A(x1,y1),B(x2,y2),则向量=(x2-x1,y2-y1),|AB|=||=. 2.坐标法 通过建立平面直角坐标系,将几何问题转化为代数问题,然后通过代数运算等解决问题.这种解决问题的方法称为坐标法. [思考2] 坐标法解决问题的一般步骤是什么? 提示:(1)建立适当的平面直角坐标系; (2)设出已知点的坐标,求出未知点的坐标; (3)利用已学的坐标公式列出方程(组),通过计算得出代数结论; (4)反演回去,得到几何问题的结论. [提醒]建立适当的平面直角坐标系对简化计算很重要,应遵循以下原则: ①要使尽可能多的已知点落在坐标轴上; ②如果图形中有互相垂直的两条线,可以考虑将其作为坐标轴; ③如果图形具有中心对称性,可以考虑将图形的对称中心作为坐标原点; ④如果图形具有轴对称性,可以考虑将对称轴作为坐标轴. 两点间距离公式的应用 [例1] (1)已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(4,1),B(-3,2),C(0,5),则△ABC的周长为(　　) A.4 B.8 C.12 D.16 (2)已知点A(-2,-1),B(a,3),且|AB|=5,则a等于(　　) A.1 B.-5 C.1或-5 D.其他值 解析:(1)因为A(4,1),B(-3,2),C(0,5), 所以|AB|===5, |BC|===3, |AC|===4. 所以△ABC的周长为|AB|+|BC|+|AC|=5+3+4=12.故选C. (2)因为点A(-2,-1),B(a,3), 且|AB|=5, 所以=5, 即(a+2)2=9, 解得a=1或-5. 故选C. 计算平面上两点间距离的方法: (1)对于任意两点P1(x1,y1)和P2(x2,y2),则 |P1P2|=. (2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况,可直接利用距离公式的特殊情况求解. [针对训练] 若在x轴的正半轴上有一点M到 A(-5,6),B(a,-2)两点的距离都为10,则a=　　　　.  解析:设M(x,0)(x>0), 由|MA|=10得=10, 所以(x+5)2=64, 因为x>0, 所以x=3, 所以M(3,0), 由|MB|=10得=10, 所以a=3+4或a=3-4. 答案:3+4或3-4 中点坐标公式的应用 [例2] (1)若A(4,0)与点B关于点(2,1)对称,则点B的坐标为(　　) A.(0,4) B.(0,2) C.(-2,4) D.(4,-2) (2)已知线段AB的端点A(3,4)及中点O(0,3),则点B的坐标为(　　) A.(,) B.(-3,2) C.(3,2) D.(3,10) 解析:(1)设B(a,b),由题意可知,AB的中点坐标为(2,1), 则解得a=0,b=2,所以B(0,2).故选B. (2)由题意及中点坐标公式可知 解得所以点B的坐标为(-3,2).故选B. 两点关于某点对称,即此点是两点的中点,再利用中点坐标公式即可求解. [针对训练] (1)已知三点A(x,5),B(-2,y),C(1,1),且点C是线段AB的中点,求x,y的值; (2)求点M(4,3)关于点N(5,-3)的对称点. 解:(1)由题意知 解得 (2)设所求点的坐标为(x,y), 则解得 故所求对称点的坐标为(6,-9). 坐标法的应用 [例3] 已知△ABC的三边长满足|AC|2+|AB|2=5|BC|2,BE,CF分别为边AC,AB上的中线,用坐标法证明:BE⊥CF. 证明:以F为原点,AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,如图所示. 设A(-a,0),B(a,0),C(x,y),则E(,),F(0,0). 由于|AC|2+|AB|2=5|BC|2, 则(x+a)2+y2+4a2=5[(x-a)2+y2], 化简得x2+y2-3ax=0. 由=(,),=(-x,-y), 所以·=-==0,故BE⊥CF