1.1.2 空间向量基本定理-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教B版）

1.1.2　空间向量基本定理 学习目标 1.了解共面向量定理及其意义. 2.了解空间向量基本定理及其意义. 1.共线向量基本定理 如果a≠0且b∥a,则存在唯一的实数λ,使得b=λa. [提醒]在定理条件中,要特别注意a≠0,若不加 a≠0,则实数λ可能不存在或不唯一.例如,若b≠0,a=0,则 a∥b,但实数λ不存在;若b=0,a=0,则a∥b.此时,λ可以取任意实数,实数λ就不唯一了. 2.共面向量定理 如果两个向量a,b不共线,则向量a,b,c共面的充要条件是,存在唯一的实数对(x,y),使c=xa+yb. [做一做] 对于空间的任意三个向量a,b,2a-3b,它们一定是(　A　) A.共面向量 B.共线向量 C.不共面向量 D.既不共线也不共面的向量 解析:根据共面向量定理知a,b,2a-3b一定共面. 3.空间向量基本定理 (1)如果空间中的三个向量a,b,c不共面,那么对空间中的任意一个向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc. (2)空间中不共面的三个向量a,b,c组成空间向量的一组基底,记为{a,b,c}.此时,a,b,c都称为基向量;如果p=xa+yb+zc,则称xa+yb+zc为p在基底{a,b,c}下的分解式. [思考] 基向量和基底一样吗?0能否作为基向量? 提示:不一样,基底是指一个向量组,基向量是基底中的某一个向量.因为0与其他任意两个非零向量共面,所以0不能作为基向量. (1)四点P,A,B,C共面⇔对空间中任意一点O,有=x+y+z,且x+y+z=1. (2)空间中任何三个不共面的向量都可以构成空间的一组基底. (3)基底选定后,空间内所有向量均可由基底唯一表示,在构成基底的三个向量a,b,c中没有零向量. 空间向量共线问题 [例1] 如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E在A1D1上,且= 2,F在对角线A1C上,且=.求证:E,F,B三点共线. 证明:设=a,=b,=c. 因为=2,=, 所以=,=, 所以==b, =(-) =(+-)=a+b-c. 所以=-=a-b-c=(a-b-c). 又=++=-b-c+a=a-b-c,所以=. 又EF与EB有公共点E,所以E,F,B三点共线. (1)要判定空间图形中的两向量共线,往往寻找图形中的三角形或平行四边形,并利用向量运算法则进行转化,从而使其中一个向量表示为另一个向量的倍数关系,即可证得这两向量共线. (2)证明空间三点P,A,B共线的方法: ①=λ(λ∈R); ②对空间任一点O,=+t(t∈R); ③对空间任一点O,=x+y(x+y=1). [针对训练] 如图所示,四边形ABCD和ABEF都是平行四边形,且不共面,M,N分别是AC,BF的中点.判断与是否共线? 解:因为M,N分别是AC,BF的中点,而四边形ABCD,ABEF都是平行四 边形, 所以=++=++. 又=+++=-+--, 所以++=-+--, 所以=+2+=2(++)=2, 所以∥,即与共线. 空间向量的共面问题 [例2] 如图所示,已知平行四边形ABCD,过平面AC外一点O作射线OA,OB,OC,OD,在四条射线上分别取点E,F,G,H,并且使====k,求证:E,F,G,H四点共面. 证明:因为====k, 所以=k,=k,=k,=k. 由于四边形ABCD是平行四边形, 所以=+. 因此=-=k-k =k=k(+) =k(-+-) =-+- =+. 由向量共面的充要条件知,,共面,又,,有公共点E,所以E,F,G,H四点共面. 证明空间向量共面或四点共面的方法: (1)利用共面向量定理:设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合,即若p=xa+yb,则向量p,a,b共面. (2)利用定义:寻找一个平面,设法证明这些向量与该平面平行. [针对训练] 已知A,B,C三点不共线,空间内一点M满足=+ +. (1)判断,,三个向量是否共面; (2)判断点M是否在平面ABC内. 解:(1)易知++=3, 所以-=(-)+(-), 所以=+=--, 所以向量,,共面. (2)由(1)知向量,,共面,三个向量又有公共起点M,所以M,A,B,C共面,即点M在平面ABC内. 空间向量基本定理及其应用 角度一　空间向量基底的概念 [例3] 若{a,b,c}构成空间的一组基底,则下列向量能构成空间的一组基底的是(　　) A.b+c,b,b-c B.a+b,a-b,c C.a,a+b,a-b D.a+b,a+b+c,c 解析:对于A,(b+c)+(b-c)-2b=0,因此A不满足题意;对于B,根据题意知a,b,c不共面,而a+b和a-b显然位于向量a和向量b所成平面内,与向量c不共面,因此B正确;对于C,2a=(a+b)+(a-b),故C不