1.1.2 空间向量基本定理-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习教学课件ppt（新教材，人教B版）

1.1.2　空间向量基本定理 1.了解共面向量定理及其意义. 2.了解空间向量基本定理及其意义. 学习目标 1 知识梳理 自主探究 1.共线向量基本定理 [提醒]在定理条件中,要特别注意a≠0,若不加 a≠0,则实数λ可能不存在或不唯一.例如,若b≠0,a=0,则 a∥b,但实数λ不存在;若b=0,a=0,则a∥b.此时,λ可以取任意实数,实数λ就不唯一了. 2.共面向量定理 如果两个向量a,b ,则向量a,b,c共面的充要条件是,存在 的实数对(x,y),使c=xa+yb. 不共线 唯一 A 解析:根据共面向量定理知a,b,2a-3b一定共面. 3.空间向量基本定理 不共面 [思考] 基向量和基底一样吗?0能否作为基向量? 提示:不一样,基底是指一个向量组,基向量是基底中的某一个向量.因为0与其他任意两个非零向量共面,所以0不能作为基向量. 唯一 基底 基向量 (2)空间中任何三个不共面的向量都可以构成空间的一组基底. (3)基底选定后,空间内所有向量均可由基底唯一表示,在构成基底的三个向量a,b,c中没有零向量. 2 师生互动 合作探究 空间向量共线问题 (1)要判定空间图形中的两向量共线,往往寻找图形中的三角形或平行四边形,并利用向量运算法则进行转化,从而使其中一个向量表示为另一个向量的倍数关系,即可证得这两向量共线. 空间向量的共面问题 证明空间向量共面或四点共面的方法: (1)利用共面向量定理:设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合,即若p=xa+yb,则向量p,a,b共面. (2)利用定义:寻找一个平面,设法证明这些向量与该平面平行. 空间向量基本定理及其应用 角度一　空间向量基底的概念 基底的判断方法: 判断给出的某一向量组能否作为基底,关键是要判断它们是否共面,如果从正面难以入手,可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断. 解析:因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示,故A不正确;B正确;只有不共线的两向量才可以作基底,故C正确;空间向量的基底是由三个不共面的向量组成的,故D不正确.故选BC. 角度二　用基底表示向量 用基向量表示指定向量的方法: (1)结合已知向量和所求向量观察图形. (2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中. (3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来. 1.下列说法正确的是(　 　) A.平面上的任意两个向量都共线 B.空间的任意三个向量都不共面 C.空间的任意两个向量都共面 D.空间的任意三个向量都共面 C 解析:平面上的任意两个向量都共线,显然不正确,例如一组基底向量,故A不正确;空间的任意三个向量都不共面,显然不正确,例如一个零向量,两个非零向量,所以B不正确;空间的任意两个向量共面,故C正确;显然正方体同一顶点出发的三个向量是一组基向量,但不是共面向量,所以D不正确. C ±1 2 -5 点击进入 课时作业 谢谢观看 如果a≠0且b∥a,则存在唯一的实数λ,使得b=λa. [做一做] 对于空间的任意三个向量a,b,2a-3b,它们一定是(　　) A.共面向量 B.共线向量 C.不共面向量 D.既不共线也不共面的向量 (1)如果空间中的三个向量a,b,c ,那么对空间中的任意一个向量p,存在 的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc. (2)空间中不共面的三个向量a,b,c组成空间向量的一组 ,记为{a,b,c}.此时,a,b,c都称为 ;如果p=xa+yb+zc,则称xa+yb+zc为p在基底{a,b,c}下的分解式. (1)四点P,A,B,C共面⇔对空间中任意一点O,有=x+y+ z,且x+y+z=1. [例1] 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E在A1D1上,且=2,F在对角线A1C上,且=.求证:E,F,B三点共线. 证明:设=a,=b,=c.因为=2,=, 所以=,=,所以==b, =(-)=(+-)=a+b-c. 所以=-=a-b-c=(a-b-c). 又=++=-b-c+a=a-b-c,所以=. 又EF与EB有公共点E,所以E,F,B三点共线. (2)证明空间三点P,A,B共线的方法: ①=λ(λ∈R); ②对空间任一点O,=+t(t∈R); ③对空间任一点O,=x+y(x+y=1). [针对训练] 如图所示,四边形ABCD和ABEF都是平行四边形,且不共面,M,N分别是AC,BF的中点.判断与是否共线? 解:因为M,N分别是AC,BF的中点,而四边形ABCD,ABEF都是平行四边形,所以=++=++. 又=+++=-+--, 所以++=-+--, 所以=+2+=2(++)=2