2.8 直线与圆锥曲线的位置关系-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习课时作业word（新教材，人教B版）

2.8　直线与圆锥曲线的位置关系 选题明细表 知识点、方法 题号 直线与圆锥曲线的位置关系 1,2,5 圆锥曲线中的弦长与中点弦问题 3,4,6 圆锥曲线中的最值与范围问题 7,10 圆锥曲线中的定值与定点问题 12,13 综合问题 8,9,11,14,15 基础巩固 1.已知双曲线x2-=1,过点P(1,1)作直线l,若l与该双曲线只有一个公共点,这样的直线条数为(　D　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:根据双曲线方程可知a=1, 所以右顶点为(1,0),使l与C有且只有一个公共点的情况为 ①当l垂直x轴时,此时过点P(1,1)的直线方程为x=1,与双曲线C只有一个公共点, ②当l与x轴不垂直时,可设直线方程为y-1=k(x-1), 联立方程消去y, 可得(2-k2)x2+2k(k-1)x-(k2-2k+3)=0, (ⅰ)当2-k2=0,即k=±时,方程只有一个根,此时直线与双曲线只有一个公共点, (ⅱ)当2-k2≠0时,Δ=4k2(1-k)2+4(2-k2)·(k2-2k+3)=0,整理可得4k-6=0,即k=. 所以满足题意的直线有4条. 2.若直线mx+ny=4与☉O:x2+y2=4没有交点,则过点P(m,n)的直线与椭圆+=1的交点个数是(　B　) A.至多为1 B.2 C.1 D.0 解析:由题意知,>2, 即<2, 所以+<1, 所以点P(m,n)在椭圆+=1的内部, 故所求交点个数是2. 3.(多选题)若直线y=x+t与椭圆+y2=1相交于A,B两点,当t变化时,|AB|的值可能为(　ABC　) A.2 B. C. D. 解析:将y=x+t代入+y2=1, 得5x2+8tx+4t2-4=0, 则x1+x2=-,x1x2=. 由|AB|=· =×, 当t=0时,|AB|最大, 最大值为 ×=, 当t=±时,|AB|最小,最小值为0. 4.将x2+y2=4上各点的纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,得到曲线C,若直线l与曲线C交于A,B两点,且AB中点坐标为M(1,),那么直线l的方程为(　A　) A.x+2y-2=0 B.x-2y=0 C.2x-y-3=0 D.2x+y+2=0 解析:设点P(x,y)为曲线C上任一点,其在x2+y2=4上对应的点为(x0,y0),则 得所以+y2=4,所以曲线C的方程为 x2+4y2=16, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则 两方程相减整理得(x2+x1)(x2-x1)+4(y2+y1)·(y2-y1)=0, 因为AB中点坐标为M(1,), 所以即 所以(x2-x1)+2(y2-y1)=0, 所以=-, 所以直线l的方程为y-=-(x-1), 即x+2y-2=0. 5.(多选题)已知两点A(-2,0),B(2,0),若直线上存在点P,使得|PA|- |PB|=2,则称该直线为“点定差直线”,下列直线中,是“点定差直线”的有(　AD　) A.y=x+1 B.y=3x+1 C.y=2x+4 D.y=x+3 解析:因为|PA|-|PB|=2<|AB|,故点P的轨迹为双曲线的右支,其中a=1,c=2,则b2=c2-a2=4-1=3,所以双曲线方程为x2-=1(x>0),渐近线方程为y=±x,y=x+1的斜率为1<,故与x2-=1(x>0)有交点,A正确; y=3x+1的斜率3>,且与y轴交点为(0,1),故与x2-=1(x>0)无交点,B错误; y=2x+4的斜率2>,且与y轴交点为(0,4),故与x2-=1(x>0)无交点,C错误; y=x+3的斜率<,故与x2-=1(x>0)有交点,D正确. 6.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的直线l与抛物线C交于A,B两点,且|AF|=5,则|AB|=　　　　. 解析:由题意可得F(1,0),设A(m,n),则解得 由抛物线的对称性,不妨设点A在第一象限, 即A(4,4), 则直线l的方程为4x-3y-4=0, 联立消去x,得y2-3y-4=0, 解得y=-1或y=4,则B(,-1), 故|AB|=xA+xB+p=4++2=. 答案: 7.椭圆x2+=1上的点到直线x+y -4=0的距离的最小值为　　　　. 解析:设与直线x+y-4=0平行且与椭圆x2+=1相切的直线方程为x+y+m=0, 所以y=-x-m, 代入椭圆方程得4x2+2mx+m2-3=0, 则Δ=4m2-16(m2-3)=0, 所以m=2或m=-2. 当m=2时,平行线间的距离为=3; 当m=-2时,平行线间的距离为=. 所以最小距离为 . 答案: 8.已知椭圆M:+=1(a>b>0),双曲线N:-=1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率为