2.6.2 双曲线的几何性质-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习课时作业word（新教材，人教B版）

2.6.2　双曲线的几何性质 选题明细表 知识点、方法 题号 双曲线的简单几何性质 1,2,3,4,8,12 由双曲线的几何性质 确定标准方程 6,11 综合问题 5,7,9,10,13,14,15 基础巩固 1.双曲线y2-x2=1的焦点坐标是(　D　) A.(±1,0) B.(0,±1) C.(±,0) D.(0,±) 解析:由双曲线y2-x2=1,可得a=1,b=1,c=, 所以双曲线的焦点坐标为(0,±). 2.若方程+=1表示双曲线,则此双曲线的虚轴长等于(　B　) A.2 B.2 C. D. 解析:方程+=1表示双曲线,则k<0,双曲线焦点在y轴上,方程为-=1,双曲线的半虚轴长b=,所以双曲线的虚轴长等于2. 3.设双曲线的焦点在x轴上,两条渐近线方程为y=±x,则该双曲线的离心率为(　D　) A. B. C. D. 解析:由题知=,所以e===. 4.(多选题)与双曲线-=1有相同的渐近线的方程是(　ABC　) A.-=1 B.-y2=1 C.-=1 D.-y2=1 解析:双曲线的渐近线方程为y=±x,A,B,C的渐近线方程均为y= ±x,D的渐近线方程为y=±x. 5.3D打印是快速成型技术的一种,它是一种以数字模型文件为基础,运用粉末状金属或塑料等可粘合材料,通过逐层打印的方式来构造物体的技术.如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒,该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的.已知该塔筒(数据均以外壁即塔筒外侧表面计算)的上底直径为4 cm,下底直径为6 cm,高为9 cm,则喉部(最细处)的直径为(　D　) A. cm B. cm C.2 cm D. cm 解析:该塔筒的轴截面如图所示,以C为喉部对应点,以OC所在直线为x轴,过点O且与OC垂直的直线为 y轴,建立平面直角坐标系,设A与B分别为上、下底面对应点. 由题意可知xA=2,xB=3,yA-yB=9,设A(2,m),则B(3,m-9), 设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),因为双曲线的离心率为= ,所以b=3a. 所以方程可化简为9x2-y2=9a2,(*) 将A和B的坐标代入(*)式可得 解得a=, 则喉部的直径为2a=(cm). 6.已知双曲线的渐近线方程是y=±x,且双曲线经过点M(4,3),则双曲线的标准方程为　　　　. 解析:双曲线的渐近线方程为y=±x,可设双曲线的方程为-= t(t≠0),代入M(4,3),可得 t=-=1,则双曲线的方程为-=1. 答案:-=1 7.若双曲线y2-=1(m>0)的渐近线与圆x2+y2-4x+1=0相切,则m= 　　 　. 解析:双曲线y2-=1(m>0)的渐近线方程为 x=±my, 圆x2+y2-4x+1=0的圆心为(2,0),半径为, 双曲线y2-=1(m>0)的渐近线与圆x2+y2-4x+1=0相切, 则=,解得m=或m=-(舍去). 答案: 8.如图,双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1作倾斜角为30°的直线l,l与双曲线的右支交于点P,若线段PF1的中点M落在y轴上,则双曲线的渐近线方程为　　　　　　　,离心率为　　　　. 解析:设F1(-c,0),M(0,y0), 因为M为线段PF1的中点,且PF1的倾斜角为30°, 则P(c,c), 将其代入双曲线方程得-=1, 又有c2=a2+b2, 整理得3()4-4()2-4=0, 解得()2=2.故所求渐近线方程为y=±x,离心率为 . 答案:y=±x　 能力提升 9.(多选题)已知双曲线C:x2-=1,点P是C上任意一点,则下列结论正确的是(　BC　) A.双曲线C的离心率为 B.焦点到渐近线的距离为4 C.左、右焦点分别为F1,F2,若|PF1|=4,则 |PF2|=6 D.若左、右顶点分别为A,B,当P与A,B不重合时,直线PA,PB的斜率之积为 解析:在双曲线C中,a=1,b=4,c==.对于A,双曲线C的离心率为e==,A错误; 对于B,双曲线C的焦点坐标为(±,0),渐近线方程为4x±y=0,则双曲线C的焦点到渐近线的距离为d==4,B正确; 对于C,由双曲线的定义可得||PF2|-|PF1||=||PF2|-4|=2,因为|PF2|≥c-a=-1,故 |PF2|=6,C正确; 对于D,设点P(x0,y0),则=16-16,易知点A(-1,0),B(1,0),则kPAkPB=·===16,D错误. 10.(多选题)已知F1,F2同时为椭圆C1:+=1(a1>b1>0)与双曲线C2: -=1(a2>0,b2>0)的左、右焦点,设椭圆C1与双曲线C2在第一象限内交于点M,椭圆C1与双曲线C2的离心率分别为e1,e2,O为坐标原点,则下列结论正