2.5.1 椭圆的标准方程-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习课时作业word（新教材，人教B版）

2.5　椭圆及其方程 2.5.1　椭圆的标准方程 选题明细表 知识点、方法 题号 椭圆的标准方程 2,3,6,8,9 椭圆的定义及其应用 1,5,7,10 与椭圆有关的轨迹问题 4,11 综合问题 12,13 基础巩固 1.已知P是椭圆x2+5y2=25上一点,F1,F2为椭圆的左、右焦点,且|PF1|=7,则|PF2|等于(　B　) A.1 B.3 C.5 D.9 解析:由椭圆x2+5y2=25,可得a=5, 由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2a=10, 所以|PF2|=3. 2.“1<m<3”是“方程+=1表示椭圆”的(　B　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:曲线+=1表示椭圆⇒得即1<m<2或2<m<3. 因为 {m|1<m<2或2<m<3}⫋{m|1<m<3}, 所以 “1<m<3”是“曲线+=1表示椭圆”的必要不充分条件. 3.(多选题)若椭圆的对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形,焦点到椭圆上点的最短距离为,则这个椭圆的方程可能为(　AB　) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 解析:设短轴的一个端点为P,焦点分别为F1,F2, 因为△PF1F2为正三角形, 所以|OP|=|F1F2|, 可得b=c, 即=c.① 又因为椭圆的焦点到椭圆上点的最短距离为, 所以a-c=,② 联立①②,可得a=2,c=,b==3. 因此a2=12且b2=9, 可得椭圆的标准方程为+=1或+=1. 4.已知F1,F2是椭圆+=1(a>b>0)的两焦点,P是椭圆上任意一点,从F2引∠F1PF2外角平分线的垂线,垂足为Q,则点Q的轨迹为(　A　) A.圆 B.两个圆 C.椭圆 D.两个椭圆 解析:因为P是焦点为F1,F2的椭圆+=1(a>b>0)上任意一点, PQ为∠F1PF2的外角平分线,QF2⊥PQ, 设F2Q的延长线交F1P的延长线于点B,如图, 则|PB|=|PF2|, 因为|PF1|+|PF2|=2a, 所以|BF1|=|PF1|+|PB|=|PF1|+|PF2|=2a, 由题意知OQ是△F1F2B的中位线, 所以|OQ|=a, 所以点Q的轨迹是以O为圆心,以a为半径的圆. 5.已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,若|PF1|=6,则△PF1F2的面积为(　B　) A.8 B.8 C.16 D.16 解析:在椭圆+=1中,a=5,b=4,则c==3,所以|F1F2|=2c=6, 由椭圆的定义可得|PF2|=2a-|PF1|=4, 取PF2的中点M,连接F1M,因为|PF1|=|F1F2|,所以MF1⊥PF2, 由勾股定理可得|MF1|===4, 所以=|PF2||MF1|=×4×4=8. 6.已知椭圆C经过点A(2,3),且点F(2,0)为其右焦点,则椭圆C的标准方程为　　　　　　. 解析:法一　依题意,可设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),且可知左焦点为F′(-2,0), 从而有 解得 又a2=b2+c2, 所以b2=12, 故椭圆C的标准方程为+=1. 法二　依题意,可设椭圆C的方程为 +=1(a>b>0),则 解得b2=12或b2=-3(舍去), 从而a2=16, 所以椭圆C的标准方程为+=1. 答案:+=1 7.已知椭圆C:+=1,则此椭圆的焦距长为　　　　,设F1,F2为椭圆的两个焦点,过F1的直线交椭圆于A,B两点,若|AF2|+|BF2|=12,则|AB|=　　　　. 解析:由椭圆C:+=1可得a=5,b=4,c===3, 所以椭圆的焦距长为2c=6. 由椭圆的定义可知|AF1|+|AF2|=2a=10, |BF1|+|BF2|=2a=10, 两式相加可得|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=20, 因为|AF2|+|BF2|=12,所以|AF1|+|BF1|=8,即|AB|=8. 答案:6　8 8.F1,F2分别为椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆上, △POF2是面积为 的正三角形,则b2=　　　　. 解析:由题意=c2=, 所以c=2,所以a2=b2+4, 所以点P的一个坐标为(1,),把x=1,y=代入椭圆方程+=1中得+=1, 解得b2=2. 答案:2 能力提升 9.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B,右顶点为A,过点F作x轴垂线,该垂线与直线AB交点为M,若=3,且△AFM的面积为,则椭圆C的标准方程为(　A　) A.+=1 B.+=1 C.+y2=1 D.+=1 解析:依据=3, 可得==, 解得a=2c,|FM|=b, 又S△AFM=·(a+c)·=,a2=b2+c2, 解得a=2,b=, 则椭圆C的标