4.2.3 等差数列的前n项和（8大题型）-【题型分类归纳】2023-2024学年高二数学同步讲与练（苏教版2019选择性必修第一册）

4.2.3 等差数列的前n项和 一、等差数列的前n项和公式 1、等差数列的前n项和公式 已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数 选用公式 2、等差数列前n项和公式的推导 对于公差为d的等差数列， ① ② 由①＋②得 n个＝， 由此得等差数列前n项和公式， 代入通项公式得. 二、等差数列的前n项和常用的性质 1、设等差数列的公差为，为其前n项和，等差数列的依次项之和，，，…组成公差为的等差数列； 2、数列是等差数列⇔(a，b为常数)⇔数列为等差数列，公差为； 3、若S奇表示奇数项的和，表示偶数项的和，公差为d； ①当项数为偶数时，，，； ②当项数为奇数时，，，. 4、在等差数列，中，它们的前项和分别记为则 三、等差数列的前n项和公式与二次函数的关系 将等差数列前n项和公式，整理成关于n的函数可得. 当时，关于n的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数，它的图象是抛物线上横坐标为正整数的一系列孤立的点． 四、求等差数列的前n项和Sn的最值的解题策略 1、将配方，若，则从二次函数的角度看： 当时，Sn有最小值； 当时，有最大值． 当n取最接近对称轴的正整数时，取到最值． 2、邻项变号法： 当，时，满足的项数n使取最大值； 当，时，满足的项数n使取最小值。 题型一 等差数列前n项和与基本量 【例1】（2023·山东·高三省实验中学校考期中）已知等差数列的前n项和为，若，，则（ ） A．182 B．128 C．56 D．42 【变式1-1】（2023·全国·模拟预测）已知数列为等差数列，其前项和为，且，，则（ ） A．63 B．72 C．135 D．144 【变式1-2】（2023·广东珠海·高二统考期末）已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式1-3】（2023·天津和平·高三天津市第二十一中学校考阶段练习）等差数列中，. （1）求数列的通项公式； （2）若，求n. 题型二 等差数列片段和的性质 【例2】（2023·山东滨州·高二统考期末）已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考阶段练习）设等差数列的前n项和为，若，则（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023·全国·高三专题练习）设是等差数列的前项和，，，则 . 【变式2-3】（2023·江苏·高二淮阴中学校联考阶段练习）已知等差数列的前项和为40，前项和为420，则前项和为（ ） A．140 B．180 C．220 D．380 题型三 等差数列前n项和与n的比值 【例3】（2023·安徽合肥·高二合肥市第六中学校联考开学考试）设等差数列的前项和为，若，，则（ ） A．18 B．36 C．40 D．42 【变式3-1】（2023·河南·高三安阳县高级中学校联考阶段练习）已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2022·河北沧州·高三河间一中校考开学考试）在等差数列中，，其前项和为，若，则等于（ ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2023·新疆·高二校联考期末）已知等差数列的首项为，前项和为，若，且，则的取值范围为 ． 题型四 两个等差数列前n项和的比值 【例4】（2023·河南周口·高二校联考期中）设等差数列，的前项和分别为，，若，则（ ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2023·重庆·高三巴蜀中学校考阶段练习）已知两个等差数列， 的前n项和分别为， . 若 则 . 【变式4-2】（2023·江苏淮安·高三清浦中学校联考阶段练习）已知等差数列和等差数列的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式4-3】（2023·广东·高三执信中学校联考期中）已知等差数列和的前n项和分别为，，若，则（ ）． A． B． C． D．